Полярная система координат.

Правила работы с двойными интегралами.

Всегда числовые пределы интегрирования

Функциональные пределы интегрирования (сечения!!)

Заштриховывая область интегрирования помни:

· Штриховка должна касаться всех линий, указанных в условии задачи.

Когда все пределы интегрирования числовые:

· Если область интегрирования – прямоугольник.

Как узнать, кто из или будут на 1-м и на 2-м местах:

1. Посмотри на подынтегральную функцию, какая из переменных чаще в ней встречается, та и будет стоять на 1 месте, которая реже - на втором.

2. Если подынтегральная функция простая, то ориентируйся по сечениям. Если сечения проведены вертикально, т.е. параллельно оси , то на 2 месте, а - на первом, и наоборот.

Как пользоваться сечениями:

1. Сечения проводятся параллельно выбранной оси в начале фигуры и в конце, т.к. разрыв фигуры происходит как правило в середине.

2. Двигаемся по сечениям в направлении оси (по горизонтальным – слева на право, по вертикальным – снизу в верх).

3. Точку на сечении, где штриховка начинается, нумеруем «1», а где заканчивается – «2».

Как с помощью сечений узнать, разрывается фигура или нет:

· если обе «1» лежат на одной линии и обе «2» лежат на одной линии, то фигура не разрывается.

· если хотя бы «1» или «2» лежат на разных линиях, то находим точку разрыва и проводим через нее еще одно сечение, которое разделит фигуру на части, каждая часть описывается своими интегралами.

Как с помощью сечения правильно расставить функциональные пределы интегрирования во втором интеграле:

1. «1» на сечениях подсказывают нижний предел интегрирования.

2. «2» на сечениях подсказывают верхний предел интегрирования.

3. Найди на рисунке линию, которой принадлежат «1» на сечениях, посмотри чему равна переменная на этой линии, если сечение проведено параллельно оси , или чему равна переменная на этой линии, если сечение проведено параллельно оси . Найденные выражения запиши в нижний предел интегрирования.

4. Найди на рисунке линию, которой принадлежат «2» на сечениях, посмотри чему равна переменная на этой линии, если сечение проведено параллельно оси , или чему равна переменная на этой линии, если сечение проведено параллельно оси . Найденные выражения запиши в верхний предел интегрирования.

Полярная система координат.

Как узнать, что надо переходить к полярной системе координат:

1. Если в области интегрирования (а не в подынтегральной функции) видишь , т.е. на рисунке изображены окружности, при вычислении интегралов переходи к полярной системе координат.

Каков порядок интегрирования:

1. На первом месте всегда .

2. На втором месте всегда .

3. Не забудь про Якобиан!

Как расставлять пределы интегрирования:

1. может изменяться в пределах от до .

2. Если центр окружности находится в начале координат, то пределы интегрирования по числовые.

3. Если центр окружности смещен относительно начала координат, то пределы интегрирования по функциональные.

Как найти функциональные пределы интегрирования для :

1. В первоначальном уравнении окружности замени и найди .

2. Проведи сечение для определения нижнего и верхнего пределов интегрирования (стрелка, выходящая из начала координат внутри штриховки). Первая точка касания стрелки и штриховки нижний предел, а последняя – верхний.

Как правильно изобразить окружность на картинке:

1. Определи координаты центра и радиус. Если ,то центр находится в начале координат, а радиус равен квадратному корню из числа после знака равно.

2. Если уравнение окружности помимо есть или , то центр окружности смещен относительно начала координат, чтобы его найти, надо выделить полный квадрат с переменной в первой степени и получить –центр имеет координаты или –центр имеет координаты . Например: ,центр и .

Как правильно найти пределы интегрирования по :

1. Выясни, в какой четверти находится штриховка. Если окружность не вырезается прямыми линиями, то берем градусную меру четвертей целиком.

2. Если внутри окружности находится прямая линия, то чтобы узнать ее угол наклона, обрати внимание, на число стоящее перед переменной , т.к. , где угол наклона прямой.

3. Если на картинке две окружности пересекаются, то чтобы узнать угол, под которым происходит пересечение, надо приравнять радиусы этих окружностей и решить полученное уравнение относительно .