Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа №4

Решение систем линейных уравнений

Теоретические сведения

Матричное исчисление играет важную роль в компьютерной математике. Практически все численные методы на том или ином этапе работы своего алгоритма сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которое часто производится матричными методами.

Методы решения СЛАУ

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.1)

или в векторном виде

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.2)

можно разделить на две основные группы: прямые методы и итерационные. Прямые методы дают точное решение за конечное число операций. Итерационные методы дают решение системы уравнений как предел последовательных приближений. Для итерационных методов необходимо выполнение условий сходимости и дополнительных преобразований системы в эквивалентную систему.

Метод матричных преобразований

Пусть требуется найти решение (СЛАУ) вида (4.1).

Введем следующие обозначения:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

где Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – матрица коэффициентов;

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – вектор свободных членов;

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – вектор неизвестных.

Из линейной алгебры известно, что система (4.2) имеет единственное решение при условии невырожденности матрицы, т.е. её детерминант должен быть отличным от нуля. Поэтому, какой бы вычислительный метод не применялся, решение системы линейных уравнений всегда нужно начинать с вычисления определителя (детерминанта) матрицы.

Применив к уравнению (4.2) аппарат матричных преобразований, получим «матричную» формулу для вычисления Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru :

1. Помножим уравнение (4.2) слева на матрицу, обратную к матрице Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru :

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.3)

2. Воспользуемся тем свойством, что Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru , где Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – единична матрица. Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.4)

3. Воспользуемся тем свойством, что Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru . Тогда уравнение (4.4) примет вид:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.5)

где (4.5) – решение системы (4.2).

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса, или метод последовательных исключений состоит в том, что систему (4.1) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.6)

решение которой находят по рекуррентным формулам:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

В матричной записи это означает, что сначала элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду (метод Гаусса):

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru ,

а затем эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru столбцах получилась единичная матрица (метод Жордана-Гаусса).

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Последний, Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru столбец этой матрицы содержит решение системы (4.1).

Метод простых итераций

При решении системы (4.1) методом простой итерации предполагают, что матрица Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – квадратная и невырожденная.

Предварительно приводят систему (4.2) к итерационному виду:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.8) (4.8)

Для произвольного начального вектора Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru итерационный процесс

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru (4.9)

сходится, если выполнено одно из условий [4.9]

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Процесс вычислений заканчивается при выполнении условия

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

где Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru - одна из метрик, определяемая левой частью (4.10) – (4.12), по которой была установлена сходимость, Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru - заданная точность.

Метод Зейделя.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что найдя какое-то значение для Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru , он на следующем шаге использует его для отыскания следующего значения Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru . Вычисления ведутся по реккурентной формуле:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Каждое из условий (4.10) – (4.12) является достаточным для сходимости итерационного процесса по методу Зейделя. Практически же удобнее следующее преобразование системы (4.2). Домножая обе части (4.2) на Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru , получим эквивалентную ей систему

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

где Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru и Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Далее, поделив каждое уравнение на Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru , приведем систему к виду (4.14). Подобное преобразование также гарантирует сходимость итерационного процесса.

Последовательность выполнения работы

Работа с матрицами в пакете Mathcad организована с помощью панели инструментов Matrix (см. рис. 4.1). Кроме этого, система Mathcad представляет большое количество функций для работы с векторами и матрицами. Воспользоваться этими функциями можно с помощью мастера функций Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.1. Назначение некоторых команд,
расположенных на панели инструментов «Matrix»

Задание 1. Найти решение системы линейных уравнений, пользуясь матричными преобразованиями:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Решение. Решение приведено на рис. 4.2.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.2. Решение СЛАУ в пакете MathCAD матричнм способом.

Задание 2.Найти решение системы средствами Mathcad.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Решение. Систему линейных уравнений средствами Mathcad решают:

1) с помощью функции lsolve(A,b) (см. рис. 4.3).

Lsolve(А, b)

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Возвращается вектор решения Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru такой, что Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Аргументы:

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – квадратная, не сингулярная матрица.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru – вектор, имеющий столько же строк, сколько строк в матрице Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.3. Решение системы уравнений с помощью функции lsolve(A,b).

2) с помощью конструкции Given…Find (см. рис. 4.4). Для этого в рабочий документ нужно записать сужебное слово Given. Далее ниже и правее этого слова записывают левую часть первого уравнения системы и символьный знак равно «Ctrl+=» и правую часть. Аналогично записываются все уравнения системы. Правее и ниже последнего уравнения системы записывается имя функции Find и в скобках перечисляются имена переменных, значения которых необходимо найти. С помощью операции → из панели символьных операций получаем ответ в виде матрицы, каждый столбец которой содержит решение – один из решени системы.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.4. Решение системы уравнений с помощью конструкции Given…Find

Задание 3.Решить СЛАУметодом Жордана-Гаусса.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Решение. Решение приведено на рис. 4.5.

Rref(А)

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Возвращается ступенчатая форма матрицы Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Augment(А,B)

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Возвращается массив, сформированный расположением массивов Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru и Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru «бок о бок». Массивы Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru и Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru должны иметь одинаковое число строк

Submatrix(А,ir,jr,ic,jc)

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Возвращается подматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцов с ic по jc. Убедитесь, что ir ≤ jr и ic ≤ jc, иначе порядок строк и (или столбцов) будет обращен.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.5. Решение СЛАУ методом Жордана-Гаусса

Задание 4.Решить СЛАУ методом простой итерации c точностью Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Решение. порядок выполнения задания:

1. Введите матрицы Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru и Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

2. Преобразуйте исходную систему Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru к виду Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

3. Определите нулевое приближение решения.

4. Задайте количество итераций.

5. Вычислите последовательные приближения.

Решение приведено на рис. 4.6.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.6. Решение СЛАУ методом простых итераций

Задание 5.Решить СЛАУ методом Зейделя c точностью Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Решение: порядок выполнения задания

1. Введите матрицы Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru и Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

2. Преобразуйте исходную систему Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru к виду Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

3. Определите нулевое приближение решения.

4. Задайте количество итераций.

5. Вычислите последовательные приближения.

Решение приведено на рис. 4.7.

Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Рис. 4.7. Решение СЛАУ методом Зейделя

Контрольные вопросы

1. К какому типу – прямому или итерационному – относится метод Жордана-Гаусса?

2. Как организуется контроль над вычислениями в прямом и обратном ходе метода Жордана-Гаусса?

3. Как строится итерационная последовательность для нахождения решения системы линейных уравнений в методе простых итераций?

4. Как формулируется достаточные условия сходимости итерационного процесса в методе простых итераций?

5. В чем отличие итерационного процесса метода Зейделя от аналогичного процесса метода простой итерации?

Варианты задания к лабораторной работе №4

Задание. Решить СЛАУ следующими методами Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru :

– матричных преобразований;

– методом Жордана-Гаусса;

– методом простых итераций;

– методом Зейделя.

Найденное решение проверить с помощью встроенных функцй Mathcad. Варианты заданий заданы в табл. 4.1.

Таблица 4.1 – Варианты коэффициентов матриц левой и правой части

№ вар. Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru Последовательность выполнения работы. Решение систем линейных уравнений - student2.ru
    0.35 0.12 - 0.13 0.12 0.71 0.15 - 0.13 0.15 0.63 0.10 0.26 0.38
  0.71 0.10 - 0.10 0.10 0.34 0.64 0.12 - 0.04 0.56 0.29 0.32 - 0.10
  0.34 - 0.04 0.06 - 0.04 0.44 0.56 0.10 - 0.12 0.39 0.33 - 0.05 0.28
  0.10 - 0.04 - 0.43 - 0.04 0.34 0.05 - 0.63 0.05 0.13 - 0.15 0.31 0.37

  0.63 0.05 0.15 0.05 0.34 0.10 0.15 0.10 0.71 0.34 0.32 0.42
    1.20 - 0.50 - 0.30 - 0.20 1.70 0.10 0.30 - 1.60 - 1.50 - 0.60 0.30 0.40
  0.30 - 0.10 - 1.50 1.20 - 0.20 - 0.30 - 0.20 1.60 0.10 - 0.60 0.30 0.70
  0.20 0.58 0.05 0.44 - 0.29 0.34 0.91 0.05 0.10 0.74 0.02 0.32
    6.36 7.42 1.77 1.75 19.03 0.42 1.0 1.75 6.36 41.70 49.49 27.67
  3.11 - 1.65 0.60 - 1.66 3.15 0.78 - 0.60 - 0.78 - 2.97 - 0.92 2.57 1.65

Наши рекомендации