Позиционные системы счисления

Для изображения чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления один и тот же знак может означать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Принцип построения позиционных систем можно проиллюстрировать на примере десятичной системы счисления. Она была изобретена в Индии примерно 1500 лет тому назад, затем ее заимствовали арабы и уже через арабские страны пришла в Европу.

В этой системе для записи любых чисел используется только 10 различных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены и для обозначения десяти последовательных целых чисел, начиная с 0 и кончая 9. Обозначая число «десять» символом 10, не введено в употребление никаких новых знаков, а использованы уже имеющиеся. Однако, введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления, а именно: значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Десятичная система счисления оттого и называется позиционной, что значение каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих это число.

Такая система записи чисел основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда, а число 10 называется основанием десятичной позиционной системы счисления. Так, например, в записи числа 235622 цифра 2 повторена трижды, но обозначает она различные числа. Последовательность цифр 235622 представляет собой сокращенную запись выражения:

2 · 10⁵ + 3 · 10⁴ + 5 · 10³ + 6 · 10² + 2 · 10¹ + 2 · 10⁰.

Аналогичным образом десятичная запись произвольного числа х, записанная в виде последовательности цифр (черта сверху позволяет отличить эту запись от произведения этих чисел), основана на представлении этого числа в виде многочлена:

х = а_n · 10ⁿ + а_{n – 1} · 10^n-1 + …+ а₁ · 10 ¹ + а₀ · 10⁰, где каждый из коэффициентов а_i (i = n, …, 0), может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки.

Десятичная система счисления является самой распространенной, но вовсе не единственно возможной позиционной системой счисления. На таких же принципах основываются и другие позиционные системы счисления с любым (целым) основанием р (р > 1), использующие р различных цифр

а_i (а_i = 0, 1, 2, 3, ... , (р – 1 )).

Число р единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу соседнего более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется
р-ичной. Так, если р = 2, то – двоичной, если р = 3 – троичной, если
р = 8 – восьмеричной.

Запись произвольного натурального числа т в позиционной системе счисления с основанием р основывается на представлении этого числа в виде многочлена:

т = а_n рⁿ + а_n-1 р ^n-1 + ... + а₂ р ² + а₁ р + а₀, где коэффициенты принимают значения 0, 1, 2, …, p – 1 и a_n ≠ 0. Например, в восьмеричной системе счисления число

230673 = 2 · 8⁵ + 3 · 8⁴ + 0 · 8³ + 6 · 8² + 7 · 8 + 3.

Арифметические действия в любой позиционной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. При этом нужно пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном конкретном основании р. Систему счисления, в которой записано число, указывают индексом, например, 10011₂, причем читать его следует так: «Один, ноль, ноль, один, один в двоичной системе счисления».

Среди различных позиционных систем в настоящее время особое место занимают две системы: восьмеричная и двоичная системы счисления.