Ксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
лучайные события. Классификация. Действия над событиями.
Предметом изучения ТВ является закономерность в массовых случайных явлениях.
Явление называется массовым, если его, теоретически, можно наблюдать неограниченное количество раз в одинаковых условиях.
Исход случайного явления заранее не предопределён. Для описания случайных явлений строится математическая модель – вероятностная модель.
Опыт (эксперимент, наблюдение) – наблюдение некоторого явления при фиксированных условиях.
Факт, регистрируемый в результате опыта, называется событием.
Если факт был зарегистрирован, то говорят, что событие появилось, или возникло.
Случайное событие – событие, о котором заранее не известно, произойдёт оно или нет.
Случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами:
Классификация случайных событий.
1. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в результате опыта ( );
2. Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдёт в результате опыта ( );
3. События называются несовместными, если они не могут происходить вместе в одном опыте;
4. Событие, противоположное – событие , состоящее в непоявлении события ;
5. События и называются благоприятствующими ( ), если появление события влечёт за собой появление события ;
6. События и эквивалентны ( ), если состоит в появлении , а – в появлении :
7. Составные события – события, сами состоящие из нескольких событий.
Действия над событиями.
1. Сумма событий ( ) – событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий-слагаемых.
2. Произведение событий ( ) – событие, которое состоит в появлении обоих событий-множителей в одном опыте.
3. Разность событий ( ) – событие, состоящее в появлении и непоявлении .
События образуют полную группу, если они в сумме дают достоверное событие: .
Множество элементарных исходов (исходов, элементарных событий) – полная группа несовместных равновозможных событий.
Равновозможные события – события, каждое из которых не является более возможным, чем другие.
Свойства операций над событиями.
10. Коммутативность: ;
20. Дистрибутивность: ;
30. Ассоциативность: .
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
ксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
Пусть – некоторое множество (множество элементарных исходов). Элементы будем обозначать , подмножества , – случайные события.
Рассмотрим – алгебра множеств, порождённая подмножествами , если:
1. ;
2. ;
3. .
– . Если условие 3 выполняется для произвольного количества множеств, то – измеримое пространство.
Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): Каждому элементу ставится в соответствие неотрицательное вещественное число – вероятность.
Аксиома 2 (аксиома нормированности): .
Аксиома 3(аксиома сложения): .
Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения): .
Аксиома 5 (аксиома непрерывности): .
Следствие 1: .
Доказательство: , .
Следствие 2: .
Доказательство: .
Следствие 3 (теорема сложения): .
Доказательство: Следствие 4 (неравенство треугольника): .
Следствие 5: .
Доказательство: .
Следствие 6: .
Доказательство: .