Самостоятельной домашней работе

Задание 1. Параметризация регрессионных уравнений.

Классический подход к оцениванию параметров линейных зависимостей (параметризации регрессионных уравнений) рассматривается на примере линейной парной регрессии

y = b₀ + b₁x + e

= y_x = b₀ + b₁x ,

где y – фактическое значение результативного признака;

или y_x – теоретические значение результативного признака, найденные из уравнения регрессии, путём подстановки в него фактических значений фактора х;

b₀ , b₁ – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии;

e - случайная составляющая (возмущение, ошибка), характеризующая отклонение фактического значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Имеются два ряда эмпирических (полученных из опыта) данных x (x₁, x₂, …, x_n) и y (y₁, y₂, …, y_n), отображение соответствующих им точек с координатами (x_i, y_i), где i = 1, 2, …, n, на координатной плоскости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предположить вид корреляционной зависимости. Например, наличие линейной корреляционной зависимости между переменными х и у.

Построение линейной регрессии предполагает оценку её параметров b₀ и b₁ с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Согласно МНК неизвестные параметры b₀ и b₁ получают таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений y_i от значений , найденных по уравнению регрессии была бы минимальной

Таким образом, из множества возможностей, положение линии регрессии на графике выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была минимальной

e_{i =} y_i – ,

Для поиска минимума функции, необходимо вычислить частные производные по каждому из параметров b₀ и b₁ и приравнять их к нулю

В результате преобразований получается следующая система нормальных уравнений для оценки параметров b₀ и b₁

Искомые оценки параметров b₀ и b₁ находят решая систему нормальных уравнений методом подстановки, последовательного исключения переменных либо методом определителей. Так,

.

Разделив обе части уравнений системы на n, получим

Из первого уравнения системы получим

После подстановки во второе уравнение получим

где – выборочная ковариация признаков (корреляционный момент)

– дисперсия признака х

Решение системы нормальных уравнений может быть осуществлено методом определителей

где D – определитель системы;

Db₀, Db₁ – частные определители, получаемые путём замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части исходной системы нормальных уравнений;

, , .

Данные о стоимости основных фондов и продукции предприятий (фирм), млн руб.

фирма	x	y	Sxy	x2	y2
	201,6	1011,3	203878,1	40642,56
	242,6	1490,4		58854,76
	255,4	1024,5	261657,3	65229,16
	323,7	559,9	181239,6	104781,7
	331,9	1195,1	396653,7	110157,6
	384,6	1050,1	403868,5	147917,2
	397,7	1482,8	589709,6	158165,3
	450,7	1151,7	519071,2	203130,5
	457,6	1020,6	467026,6	209397,8
	515,3		849214,4	265534,1
	533,8	2441,9		284942,4
	587,8	1424,6	837379,9	345508,8
	614,9	1095,4	673561,5
	655,1	1278,5	837545,4
	720,1	2091,4
	741,5	2403,5		549822,3
	760,9			578968,8
	814,1	2042,3		662758,8
	859,2	1607,9		738224,6
		1683,2
	953,8			909734,4
	1092,6	3063,9
	1148,9	2048,4
	1247,5	2034,4
	1253,1	2435,9
	1873,5	3082,1
Сумма	18348,9	43906,8

Построим корреляционное поле и проведём линию регрессии

Для нахождения параметров уравнения регрессии используем функцию Excel МОПРЕД, позволяющую рассчитать определитель матрицы

Так, определитель системы в целом равен D = =99509416,79, частный определитель Db₀ = 79005533565, частный определитель Db₁ = 126165393,5.

Уравнение регрессии имеет вид

y = 793,9503 + 1,26 × х + e.