Структура общего решения ЛНДУ

Д У высших порядков

Как мы уже говорили, дифференциальные уравнения могут содержать производные различных порядков.

или .

Такие дифференциальные уравнения имеют решения, которые содержат столько произвольных постоянных интегрирования → каков порядок дифференциального уравнения, т.е. для дифференциального уравнения 2го порядка произвольных постоянных будет две С1 и С2 , для 3го →С1 ,С2 , и С3 , и т.д.

Таким образом, общим решением (общим интегралом) такого дифференциального уравнения будет функция

.

Для получения частного решения, таких дифференциальных уравнений, необходимо задать столько начальных условий, каков порядок дифференциального уравнения, или сколько произвольных постоянных получено в общем решении.

Д У в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Дифференциальное уравнение вида называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной С .

Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения

называется такая функция , после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции M и N в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.

Структура общего решения ЛНДУ

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

+ (x) + ... + (x)y' + (x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) ,..., (x0) = .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

ЛНДУ 2-ого порядка

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнение вида y" + py' + qy = f(x), где р и q — вещественные числа, f(x) — непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения н общего решения соответствующего однородного уравнения. Нахождение общего решения однородного уравнения изучено. Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения y" + py' + qy = f(x).

1) Правая часть имеет вид F(x) = Pn(x), где Pn(х) – многочлен степени n. Тогда частное решение у можно искать в виде , где Qn (x) – многочлен той же степени, что и Pn (х), а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример. Найти общее решение уравнения у" – 2у' + у = x+1.

Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид У = ех (C1 + C2x) . Так как ни один из корней характеристического уравнения k2 – 2k + 1 = 0 не равен нулю (k1 = k2 = 1), то частное решение ищем в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , ' и " в данное уравнение, найдем –2А + Ах + В = х + 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: А = 1, –2А + В = 1, – находим А = 1, В = 3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид = х + 3, а его общее решение у = еx (С1 + C2x) + х + З.

2) Правая часть имеет вид f(x) = eax Pn(x), где Рn (х) – многочлен степени n. Тогда частное решение следует искать в виде , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Рn (х), а r — число корней характеристического уравнения, равных а. Если а = 0, то f(х) = Рn (х), т. е. имеет место случай 1.

ЛОДУ с постоянными коэфф.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(8)

где – вещественные постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8): (9)

Пусть - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи:

а) - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет ;

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е. , тогда общее решение будет

в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид .

Структура общ. решения ЛОДУ 2-ого порядка

Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

+ (x) + ... + (x)y' + (x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные.