Гидродинамическая модель движения крови по кровеносному руслу.

Можно моделировать функционирование отдельных элементов сердечно-сосудистой системы. Рассмотрим модель движения крови по кровеносному руслу на основе законов механики. Пусть кровь по кровеносному руслу распространяется как жидкость в жесткой трубе. Кроме того, в продвижении крови по кровеносному руслу участвуют упруго деформирующиеся стенки сосудов.

Представим кровеносный сосуд как трубку с радиусом просвета (поперечного сечения) r. Движение малого объема крови (цилиндра - радиусом r и высотой dx) (рис.1.7), описывается вторым законом Ньютона (первое уравнение системы 1.4). Давление крови внутри сосуда уравновешивается силой упругости стенок сосуда (второе уравнение системы 1.4).

где dm – масса объема крови, v – скорость, dF_дав – сила давления, dF_тр – сила вязкого трения, dF_упр – сила упругости.

Рассмотрим первое из уравнений системы (1.4). Возьмем проекцию этого уравнения на ось x. Учтем, что

где r - плотность крови, S – площадь просвета сосуда (S=pr²), dp»Dp=p₂-p₁ – изменение давления на участке dx в связи с малостью этого участка приблизительно равно дифференциалу функции давления.

Для элементарного объема крови сила трения является силой вязкого трения, которую можно рассчитать по формуле Ньютона с использованием формулы Пуазейля:

где h - вязкость крови, Q=S^.v - объемная скорость крови.

Тогда первое уравнение системы (1.4) с учетом введенных величин можно записать в виде:

Рассмотрим второе уравнение системы (1.4).

Плоскостью, проходящей через диаметр, условно разделим рассматриваемый объем крови и прилегающие к нему стенки сосуда на две половины (рис. 1.7). Образовавшееся сечение имеет площадь 2rdx. На эту площадь действует сила давления

dF_дав=p^.2rdx.

Силы давления стремятся разъединить обе половинки сосуда, в результате чего в сосудистой стенке возникают силы, препятствующие этому – упругие силы:

dF_упр= s ^.2hdx,

где s- тангенциальное напряжение в стенке сосуда, 2hdx - сумма площадей продольных сечений стенки, к которым приложены упругие силы.

dF_дав=dF_упр,

p2rdx=s ^.2hdx,

pr=sh Þ p=sh/r.

Учитывая закон Гука (ds=Edr/r, где Е – модуль упругости Юнга) и выражение площади поперечного сечения сосуда (S=pr², dS=2prdr), найдем дифференциал функции давления:

Разделим левую и правую части этого уравнения на dt и учтем, что dS= -dQ dt/dx:

Тогда система из системы уравнений (1.4) получим систему уравнений (1.5):

(1.5)

Система уравнений (1.5) описывает движение крови по кровеносному сосуду в рамках механического подхода. Система состоит из двух уравнений и содержит две неизвестные (Q и р), поэтому разрешима. Решение системы уравнений (1.5) выходит за рамки нашего курса, поэтому здесь приведем лишь конечные формулы, являющиеся решением данной системы уравнений.

Одно из решений системы (функция давления) представляет собой уравнение затухающей волны (пульсовая волна):

где А₀ – максимальная амплитуда давления крови, w - частота колебаний давления крови.

Коэффициент c показывает, как быстро затухает колебание по длине сосуда. Коэффициент b связан со скоростью распространения волны. Оба эти коэффициента выражаются через величины, входящие в уравнения системы (1.5).