Шін Гаусс теоремасына сәйкес

2. үшін Гаусс теоремасына сәйкес:

Жауабы:

div =0; rot ;

div = + =

grad Үстіңгі есепте шығарғаннан белгілі: ;

grad grad

Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напреженностью:

а) E =

a и b постоянные вектора.

rot ;

Жауабы: Болмайды. Өйткені rotE , rotE = 2a

Тежеуші біртекті Е электр өрісінде релятивистік зарядталған бөлшектің е заряды мен m массасы және бастапқы энергиясы ξ арқылы бөлшектің бастапқы жылдамдығына параллель жүрген жолын l анықтау керек.

Шешуі:

Үш өлшемді формадағы қозғалыс теңдеуі және энергияның сақталу заңы:

Осы формула бөлшектің туынды жылдамдығы үшін қолданылады.

Мұндағы - бөлшектің кинетикалық энергиясы.

Екі теңдеуді өзара теңестіріп, мәнін аламыз.

Осыдан , онда

Қорыта келе,

Бесконечная плоская плита толщиной аравномерно заряжена по объему с плотностью .

Найти потенциал ?

Решение:Пуассон теңдеуінен формуласы:

х=0 нүктесінде =0+0+C; C=0

пластина ішіндегі потенциал.

2) ;

Жауабы:

Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра r по закону (r)= ₀a²/r². Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью ₀, у которого площадь обкладки 4 a², расстояние между обкладками b – a (краевым эффектом пренебречь).

Шешуі:

(r)= ₀a²/r²s= 4 a²

1) C =

Өйткені, сондықтан D_n=D

D*4 ²=

D=q/r²

E= = Dr²/ ₀a² =qr²/r² ₀a²=q/ ₀a²

₀a²dr =q/ ₀a²(b-a) C= ₀a²/q(a-b)

2) C = E=D/ ₀

D*4 ²=

D=q/a²E=q/ ₀a²

(b-a) C= ₀a²/q(a-b)

Жауабы: C= ₀a²/q(a-b)

Плоскость z = 0 заряжена с плотностью меняющейся по периодическому закону , где , , – постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.

Қазақша:

Берілгені:

z = 0 жазықтығы тығыздығы болатын периодтық заңымен өзгереді. Осы зарядтар жүйесінің потенциалын табу керек. Мұндағы , , – тұрақтылар.

Шешуі:

потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады:

(1)

Зарядтадған жазықтықта электр өрісінің нормаль құраушысы:

(2)

көлемдік тығыздығы әрқайсысы x және y координаталарына тәуелді болатын екі функцияның туындысы болғандықтан, (1) теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

(3)

(3) функциясын (1) теңдеуге қойып, әр қосылғышты -ға бөлеміз:

(4)

(4) теңдеуі барлық координатасын қанағаттандыру үшін әр қосылғыш үшін тұрақты шама енгіземіз. Яғни,

болсын. Берілген теңдеудің жалпы шешімі мына функция болып табылады:

ұмтылғанда, шексіздікке ұмтылмауы қажет, себебі өріс айнымалы таңбалы зарядтардан құралады. Бұл шартпен мына шешімді қанағаттандыра аламыз:

, .

Бұл екі теңдеудің шешімі – гармоникалық функциялар. (2) гармоникалық шартты қанағаттандыру үшін, былай алуымыз керек:

, ; ,

Сонда, . Сонымен:

Электр өрісінің нормаль құраушысы . Сондықтан

Осы мәнді (2) теңдеуге қойып, екенін табамыз. Соңында потенциал айырымы мына түрге келеді: