Пример исп-ия фиктивных переменных с временным рядом

В кач-ве примера рассм.спрос на автомобили в завис-ти от располагаемого дохода ур-ие регрессии запишем в сл.виде: ; y-спрос на авто; x-располаг.доход

Предполагается, что со временем доход растет. Проводится анализ с 1963 по 1983. В 1974 наблюдалось резкое снижение спроса на авто из-за повышения цены на бензин. (график)

Чтобы учесть в одном ур-ии:

Если δ считать отриц.величиной, то с 1963 по 1974г.,D=0; а с 1974 по 1983г., D=1.

Использование сезонных фиктивных переменных.

При исп-ии данных вр.рядов зачастую вместо годовых данных исп-ют квартальные пок-ли это позволяет существенно увеличить кол-во наблюдений. Однако на эти данные сущ-ое влияние оказ.сезонный фактор.Н-р, расходы потребителей на газ и электричество растут во времени(от года в год), но и изм.сущ-но от сезонов года. Для учета этого исп-ем след.ур-ие регрессии:

y- потребление (в руб.), t-время, D₂,D₃,D₄-фиктив переменные

За базовый период взят 1-ый квартал. В этом сл.все фиктив.переменные = 0

Если наблюдение относится ко 2-му кварталу, то D₂=1, D₃₌0, D₄=0

Если наблюдение относится ко 3-му кварталу, то D₃₌1, а ост. = 0

Если наблюдение относится ко 4-му кварталу, то D₂=0, D₃₌0, D₄=1

Обычно имеет отриц.значение. (график)

Это сезонное отражение изменения потребления газа и электричества за год.

Фиктивные переменные для коэф-та наклона ур-ия регрессии.

Любые примеры обеспечивали интерпретацию сдвига графиков (вверх,вниз) при изм-ии кач-го признака. При этом предполагалось, что наклон графика не зависит от кач-го признака, что не всегда верно. В связи с этим введем фиктивную переменную для коэф-та наклона, назыв-ый иногда фиктив.переменной взаимодействия. В любом ранее примере с рождением первенца/не первенца ур-ие регрессии имело вид: : D=0- если первенец; D=1-если не первенец

Введем дополнительную фиктивную переменную для коэф-та наклона графика:

;

D₁=0, D₂=0, если первенец

D₁=1, D₂=1, если не первенец

Доугерти провел исслед-ие и получил:

Если первенец=(3363-4х)гр. Если матери курят, (график)

Если не перв.=(3410-12х)гр. то вес меньше

Тест Чоу.

Иногда выборки наблюдений состоят из двух или более подвыборок и необходимо решить вопрос: «сделать для каждой подвыборки отдельное уравнение регрессии или сделать одно общее уравнение регрессии?»

Для подвыборки А:

Для подвыборки В:

Для подвыборки А+В:

Обозначим суммы квадратов остатков для регрессии подвыборок , и , и (сумма квадратов отклонений для регрессии А+В на участке А), и (сумма квадратов отклонений для регрессии А+В на участке В)

Естественно предположить, что , а

Следовательно,

U_p – сумма квадратов отклонения для регрессии (А+В). В пределе . Это будет достигаться при совпадении коэффициентов уравнения регрессии (Объединенной регрессии и регрессии подвыборок). Таким образом можно сказать, что имеется уличшение качества уравнения регрессии равное за счет представления уравнения регрессии в виде двух уравнений регрессии.

Однако в этом случае уменьшается число степеней свободы, т.к. в первом случае для объединенной регрессии мы имели число степеней свободы k=n-p-1, где р – число неизвестных.

Если мы берем для двух уравнений регрессии (А+В), то k₂=n-2p-2.

Кроме того во втором случае остается необъясненной поэтому необходим критерий, который помог бы однозначно решить вопрос: «эффективно ли улучшение качества уравнения, получаемое за счет использования двух уравнений регрессии, по сравнению с использованием одного уравнения»

Для решения этого вопроса используется тест Чоу, который предполагает вычисления критерия Фишера по формуле:

Где в числителе записано улучшение качества уравнения, деленное на использованные степени свободы, а в знаменателе необъясненная дисперсия результативного признака, деленное на число оставшихся степеней свободы.

Данные расчетные значения критерия Фишера сравнивается при 5% уровне значимости нулевой гипотезы.

Нулевая гипотеза: в ген. Совокупности улучшение качества за счет использования двух уравнений регрессии равно 0.

Табличное значение F_p находится из таблицы со степенями свободы ;

Если F_p меньше F_табл, то нулевая гипотеза отвергается и считается, что улучшение качества за счет использования двух уравнений регрессии существенно, т.е. имеет смысл их использовать.