Определение и свойства предела функции.

Предел последовательности вещественных чисел

Неравенство задает интервал , который называется 𝜺 -окрестностью точки (числа) Заметим, что любой интервал, содержащий точку , включает в себя -окрестность при достаточно малом

Последовательностью называется ряд чисел

занумерованный натуральными числами (или целыми неотрицательными числами). Формально, последовательность есть отображение . Число называется n-ым членом (или общим членом) последовательности Очень часто он задается аналитическим выражением.

Примеры последовательностей

а) константная последовательность: ;

б) . Общий член задается формулой .

в) . Общий член задается формулой .

г) . Эта последовательность вида Видно, что эта последовательность монотонно возрастает.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного 𝜺 найдется натуральное N такое, что для всех .

Пример 1. Докажем, что lim 1/n =0. Возьмём 𝜺 >0. Неравенство |1/n-0| <𝜺 выполнено, если n>1/𝜺 . В качестве N(𝜺 ) можно взять [1/𝜺 ]+1 -- наименьшее натуральное число, превосходящее 1/𝜺 . Здесь через обозначена целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее .

Пример 2. Докажем, что последовательность не имеет предела. ???

Предложение 1. Если предел существует, то он единственен

Доказательство. Пусть числа A и B равны пределу . Если A≠ B, то взяв 𝜺 <|A-B|/2 получим непересекающиеся окрестности и . Но согласно определению предела, начиная с некоторого в первую окрестность попадают все и начиная с некоторого во вторую попадают все . Возьмем . Тогда – общая точка этих окрестностей; противоречие. Противоречие показывает, что предположение A≠ B неверно. Следовательно, A=B.

После доказательства единственности предела имеем право ввести оператор предельного перехода:

Теорема 1. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел и он равен . Аналогично, любая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел равный точной нижней грани множества значений этой последовательности.

Доказательство. Пусть -- монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Обозначим . Пусть 𝜺 >0. Так как число u-𝜺 не является верхней гранью значений нашей последовательности, то найдется натуральное N такое, что . Тогда для любого n≥ N имеем

в силу монотонности последовательности и того факта, что u -- верхняя грань. Отсюда для любого натурального n≥ N следует неравенство <𝜺, что и требовалось доказать.□

Свойства предела

ПР1. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют.

Пусть , . Фиксируем 𝜺 >0. Находим такое, что для любого выполняется неравенство . Аналогично, находим такое, что для любого выполняется неравенство . Тогда для любого выполняется оценка

ПР2. Предел константной последовательности равен этой константе.

Последовательность называется ограниченной, если найдется константа такая, что для всех .

ПР3.Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Действительно, пусть . Для 𝜺 =1 найдем натуральное N, начиная с которого выполняется неравенство . Тогда

что и требовалось доказать.

ПР4. Предел произведения равен произведению пределов, при условии, что пределы сомножителей существуют.

Доказательство. Пусть и . Ограничим последовательность числом M>0 согласно свойства ПР3. Будем иметь:

Так как величины и могут быть сделаны сколь угодно малыми, то и также можно сделать меньше наперед заданного 𝜺 для всех n, начиная с некоторого натурального N.

ПР5. Константу можно выносить за знак предела:

Это утверждение есть следствие свойств ПР4 и ПР2.

ПР6. Предел отношения равен отношению пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и последний не равен нулю.

Достаточно доказать, что в предположении и далее применить свойство Г. Из условия следует, что найдется N начиная с которого . Тогда модуль разности

может быть сделан сколь угодно малой величиной начиная с некоторого N. □

На основе предела можно вычислять другие пределы, пользуясь уже не определением, а правилами ПР1-ПР6. Например,

Опишем теперь предельные переходы в неравенствах.

ПР7. Если выполняется неравенство начиная с некоторого N, и предел последовательности существует, то . Аналогичное свойство имеет место для неравенства ≤ .

Действительно, если , то для найдется N, начиная с которого . Тогда -- противоречие с условием.□

Заметим, что для строгих неравенств аналогичное утверждение несправедливо. Например, 1/n>0 для любого n, но lim 1/n=0, как мы доказали выше.

ПР8.Если выполняется неравенство начиная с некоторого N, то при условии, что эти пределы существуют.

Действительно, так как для всех , то согласно свойства ПР7. Тогда, применяя свойства ПР1 и ПР5, получим:

ПР9 (предел промежуточной последовательности). Если начиная с некоторого номера, а пределы крайних последовательностей существуют и равны одному и тому же числу A, то предел также существует и равен A.

Доказательство. Пусть число 𝜺 >0 задано. Тогда найдется номер N такой, что и начиная с N. Отсюда

Пример. Докажем, что если , то . В силу монотонного убывания и ограниченности снизу нулем, предел этой последовательности существует по теореме о пределе монотонной последовательности. Применяя принцип Архимеда, получаем, что сколь угодно близко подходит к 0. Тогда .

Сумма ряда

Ряд

имеет общий член и последовательность частичных сумм Ряд (1.2.1) называют сходящимся к числу S, если .

Следствие теоремы о пределе монотонной последовательности. Ряд с неотрицательными слагаемыми сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена сверху.

Число е

Теорема 1. Предел последовательности существует и заключен между числами 2 и 3.

Доказательство. Обозначим . Если вычислять значения последовательности , то видим, что

Видим, что эта последовательность возрастает. Докажем этот факт. Используя бином Ньютона, получим:

При переходе к следующему члену последовательности каждый из сомножителей 1-k/n в правой части (1) увеличивается, а кроме того, добавляется еще одно (n+2)-е слагаемое. Итак, доказано, что , т.е. последовательность монотонно возрастает. Далее, если ограничить сверху каждый из сомножителей 1-k/n единицей, а 1/k! ограничить сверху , то

Итак, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом 3, следовательно, по аксиоме о пределе монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности эта последовательность имеет предел, причем он меньше либо равен 3 по свойству ПР7.

Так как , то по свойству ПР7 следует, что это предел больше либо равен 2. □

Определение.Предел последовательности обозначают e и называют основанием натуральных логарифмов или числом е.

Приближенное значение e≈2.718281828 (1828 -- год рождения Л.Н. Толстого). Чаще всего пользуются приближением e≈ 2.7.

Теорема 2.

Доказательство ???

Предел функции

В этом параграфе изучается важнейшее понятие анализа – предел функции.

Примеры

Составим таблицу значений функции при

	1.9	1.95	1.98	1.99	1.999
	3.9	3.95	3.98	3.99	3.999

Заметим, что значение мы подставить не можем, так как получим неопределенность . Тем не менее, понятно, что значения функции приближаются к числу 4 по мере того, как значения аргумента приближаются к 2. Это станет совершенно очевидно, после сокращения . Правая часть здесь уже определена при и имеет значение 4. Иными словами, простым алгебраическим преобразованием мы раскрыли неопределенность и вычислили предел функции при .

Рассмотрим еще один пример: вычислим предел . Преобразуем

При неограниченном увеличении аргумента знаменатель становиться больше чем любое наперед заданное число. Так как , то получаем нулевое значение предела.

Определение и свойства предела функции.

Интервал называют δ-окрестностью точки (здесь δ >0). Она задается неравенством . Множество называют проколотой окрестностью точки . Она задается неравенством .

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Число A называется пределом функции при стремящемся к , если чем ближе подходит к тем меньше значение функции отличается от своего предела. Мерой близости и можно считать . Однако мы не допускаем равенства , ибо функция может быть и неопределенной в точке .

Определение. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного 𝜺, найдется число , зависящее от ( ) такое, что для всех принадлежащих проколотой δ-окрестности точки , т.е. таких , что .

Предложение 1. Если предел функции существует, то он единственен.

Доказательство такое же как и для предела последовательности.

Предел функции при записывают как . Формально,

Теперь приведем определение пределов на бесконечности. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного 𝜺 найдется число C такое, что для всех таких, что Предел функции при записывают как .

Аналогично, число называется пределом функции при ( ), если для любого положительного 𝜺 найдется C такое, что для всех , таких, что .

Иногда приходится рассматривать предел при дополнительных условиях, ограничениях на переменную Например, совершенно ясно, что , ибо при ограничении . Аналогично, . Найденные пределы называются односторонними, первый – предел справа, второй – предел слева. Заметим, что «двустороннего» предела функция при не имеет.

Число A называется пределом функции при стремящемся к справа, если для любого положительного 𝜺 найдется δ =δ (𝜺 )>0 такое, что для всех таких, что .

Предел функции при справа записывают как .

Число A называется пределом функции при стремящемся к слева (записываем как ), если для любого положительного 𝜺 найдется δ =δ (𝜺 )>0 такое, что для всех таких что

Предложение 2. Предел функции существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, причем они совпадают.

Доказательство. ???

Предел функции и предел последовательности связаны между собой как показывает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть и -- функция, определенная в проколотой окрестности точки . Тогда предел существует и равен A в том и только том случае, когда для любой последовательности точек сходящихся к и отличных от , последовательность значений сходится к A.

Доказательство. Пусть ) и -- последовательность, сходящаяся к , причем для любого n не равно ). Возьмем какое-либо положительное 𝜺 и найдем для него δ >0 такое, что как только . Так как , то найдется номер N такой, что для всех n>N имеет место неравенство . Тогда . Это значит, что .

Наоборот, пусть равенство не имеет места. Тогда

Взяв здесь последовательность , сходящуюся к нулю и выбрав для нее соответствующие , получим последовательность , но для любого n имеет место неравенство , поэтому предел не равен A. □

Свойства предела функции

Следующие свойства предела функции вытекают из аналогичных свойств предела последовательности с применением теоремы 2.

LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

Пусть существую пределы . Тогда

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов: .

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов:
. В частности, константу можно выносить за знак предела.

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.

LIM5. Если при любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и (при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место для неравенства "≤ ".

Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:

LIM6. Предположим, что для любого близкого к a. Тогда и при условии существования этих пределов.

Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции

LIM7. (предел промежуточной функции) Предположим, что для любого из некоторой проколотой окрестности точки . Предположим также, что пределы и существуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функции при существует и совпадает с пределами крайних функций.

LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что

· существует предел равный ;

· существует предел .

Тогда существует предел сложной функции при и он равен A.

Доказательство. Фиксируем . Находим такое, что для любого . Для этого находим такое, что как только , то . Тогда и неравенство также будет выполнено для любого , удовлетворяющего неравенствам . □

Бесконечно малые величины

Функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки называется бесконечно малой при , если .

Свойства бесконечно малых величин вытекают из соответствующих свойств предела:

M1.Сумма бесконечно малых величин суть бесконечно малая величина.

Функция называется ограниченной в точке , если найдется такая окрестность этой точки и такая константа , что для всех из этой окрестности.

Предложение. Функция, имеющая предел в точке , ограничена в этой точке. Более того, если , то ограничена в точке a.

Доказательство. Если для любых , то для любых из -окрестности точки имеет место оценка

Докажем второе утверждение. Полагаем . Для 𝜺 =A/2 найдем δ такое, что . Тогда и для всех x из δ-окрестности точки . Аналогично разбирается случай A<0.□

M2.Произведение бесконечно малой величины на функцию, ограниченную в точке , является бесконечной малой величиной. В частности, произведение б.м. на функцию, имеющую предел в точке суть также б.м., а также произведение нескольких б.м. есть б.м.

М3.Произведение б.м. на константу есть б. м.

M4. Отношение б.м. к функции, имеющий ненулевой предел в точке является б.м.

Действительно, если , то ограничена в точке a по выше доказанному в предложении. Следовательно, на основании свойства М2 получаем, что также есть б.м.

М5.Пусть a (x) - бесконечно малая при , а -- функция такая, что выполняется неравенство для всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки . Тогда также будет б.м.

Это свойство верно в силу теоремы о пределе промежуточной функции.