Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в дифференциальной форме

Для решения задачи о нахождении поля по известному неодно-родному распределению зарядов с плотностью (х, у, z) нужны уравнения, содержащие характеристики поля в одной его точке или в ее малой окрестности. Получим такое уравнение из интегральной теоремы Гаусса.

Для преобразования уравнения (1.5.5) применим к его левой части

теорему Остроградского – Гаусса, согласно которой поток вектора A сквозь любую замкнутую поверхность равен интегралу от его дивер-генции по объему, охватываемому этой поверхностью, т. е.

	AndS divAdV,	(1.7.1)
S	V

где divA A ^{Ax Ay Az} – дивергенция вектора A.

x y z

Правую часть теоремы Гаусса (1.5.5) можно выразить через объ-емную плотность заряда:

			qdV.				(1.7.2)
			V
Тогда теорема Гаусса примет вид:
EndS			qdivEdV			dV.	(1.7.3)
S		V		V

Поскольку поверхность S, а следовательно, и объем V, по которо-му проводится интегрирование, являются произвольными, то из по-следнего уравнения получим:

divE		.	(1.7.4)

Уравнение (1.7.4) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в вакууме в дифференциальной форме.

Лекция № 3

1.8. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

1.9. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля в интегральной и дифференциальной формах.

1.10. Потенциал. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции для электростатических потенциалов.

1.11. Связь между напряженностью и потенциалом. Эквипотенци-альные поверхности.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

На помещенный в электростатическое поле напряженностью E пробный заряд q_пр действует сила F q_прE. Если заряд перемещается в

поле из точки 1 в точку 2, сила F будет совершать работу. Поскольку любое заряженное тело, создающее поле, можно рассматривать как со-вокупность точечных зарядов, то для вычисления работы в любом элек-тростатическом поле определим вначале работу по перемещению проб-ного заряда q_пр в поле точечного неподвижного заряда q (рис. 1.8.1).

			F
	E
dr		dl
1	qпр		2
r
r1	r2

q

Рис. 1.8.1

Элементарная работа, которая совершается силами поля над заря-дом q_пр при перемещении, будет равна:

qпрq

qпрq

dA Fdl

q

Edl

q Edl cos

dl cos

dr,(1.8.1)

пр

пр

4 0

r 2

4 0

r2

где dlcos = dr.

Теперь найдем работу по перемещению заряда q_пр между точка-ми 1 и 2:

r2

qqпр

qqпр

r2

dr

qqпр

A12 dA

dr

r2

.

(1.8.2)

r 2

r

r

r

r

Из формулы (1.8.2) видно, что работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, по которой пере-мещается заряд, а определяется только его начальным и конечным по-ложениями. Следовательно, электростатическое поле является потен-

циальным,а электростатические силы– консервативными .