Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория

Движение точки можно изучать, используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат. Движение точки считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис.4), т.е. заданы уравнения движения точки в декартовых коор­динатах:

x=f₁(t) y=f₂(t) z=f₃(t) (6)

Уравнения движения точки в декартовых координатах пол­ностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Пара­метром является время t. Уравнения траектории в ко­ординатной форме из (6) получают исключением парамет­ра t. Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей.

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис5). Получим r=xi+yj+zk; v = v_xi+v_yj+v_zk,(7)

где х, у, z— координаты точки М; i, j, к— единичные век­торы осей координат; v_x, v_y, v_z — проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем

v = dr/dt = (d/dt) (xi+ yj+ zk) = xi+ yj+ zk,(8)

так как i, j, к не изменяются при движении точки М. Точки над х, у, z означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат, следующие формулы: v_x = dx/dt = x; v_y = dy/dt=y; v_z = dz/dt = z. (9)

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ох и Оу в этой плоскости, получим: z = const = 0, v_z = z = 0, v_x = x, v_y=y;

Соответственно:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Ох, направляют по траектории (рис. 6). Тогда y = const = 0 и z=const = 0, y = 0, z = 0. Проекция скорости и ее модуль определяются по формулам

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим, а = a_xi+a_yj+a_zk, (11)

где а_х, а_у, a_z — проекции ускорения на координатные оси Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем:

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координа­ты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам:

При движении точки по плоскости оси Ох и Оу выбирают в этой же плоскости. Тогда z = const = 0, a_z = z = O. Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид:

a= xi+yj a_x=x a_y=y

Соответственно:

Для прямолинейного движения ось Ох направим по траектории точки. Тогда y = const = 0, z = const = 0 и а_у=у = О, a_z = z = O. Формулы для ускорения и его проекции на ось Ох принимают вид a = xi; а_х = х.

Соответственно для числового значения ускорения имеем:

а = \х\.