Дәріс. Кескіннің метрикалық анықталғандығы туралы түсінік

Мектеп геометрия курсында фигура кескінінің метрикалық анықталғандығы ұғымы жиі қолданылады. Метрикалық анықталған фигура кескінінен фигураның түпнұсқасын ұқсастық дәлдігіне дейін қайта құруға мүмкін болады. Мысалы, берілген кескіннің құрамында квадраттың кескіні бар болса, онда бұл кескін метрикалық анықталған болып табылады. Яғни түпнұсқаны анықтау үшін жүргізілетін кері салулар квадраттың кескіні негізінде метрикалық анықталады.

Сонда, кескін метрикалық анықталмай тұрып тек параллель проекциялаудың немесе кескіндеудің 1⁰-4⁰ қасиеттерінің негізінде салынады. Ал, кескін метрикалық анықталғаннан соң түпнұсқаның бірде-бір нүктесін еркін түрде кескіндеуге болмайды, ол берілген метрикамен ғана анықталады.

Нақты мысалдармен көрсетпес бұрын, есеп шартын талдау мәселесіне тоқталайық. Есеп шартына талдау жасау барысында оқушылар түпнұсқа құрамына енетін геометриялық фигураларды және кескін құрамына енетін геометриялық фигураларды нақты ажыратып қарап, кескіні метриканы анықтайтын фигураға назар аударуы қажет. Мысалы, мына есептің шартына талдау жасайық.

«Сызба жазықтығында шеңбердің кескіні эллипс болып берілген және осы жазықтықта нүкте мен түзу берілген. Олар сызбада сәйкесінше Р және МN әріптерімен белгіленген. Нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың кескінін салу керек» (76-сурет).

Берілген есеп шартында нүкте мен түзу жатқан жазықтықта түпнұсқа құрамында шеңбер бар екендігі және нүктеден түзуге перпендикуляр түсірілгендігі айтылған.

Ал кескін мына элементтерден құралған: шеңбердің кескіні болып табылатын эллипстен, нүктенің кескіні және түзудің кескінінен. Перпендикулярдың кескінін салу керек.

Шеңбер көмекші рөл атқарады, оның кескінін еркін түрде эллипс етіп кескіндей отырып метриканы анықтайды.

Жазық фигураларды салу есептері, егер оларды анықтайтын элементтердің кескіні мен метрикасы берілген жағдайда мынадай төрт есептің біріне келтірілуі мүмкін.

6-есеп: Бір жазықтықта жатқан нүкте, түзу және шеңбер берілген. Сызбада эллипс осы шеңбердің кескіні болып табылады, ал Р берілген нүктенің МN түзудің кескіндері (76-сурет). Нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың кескінін салу қажет.

Шешуі: Эллипстің МN түзуіне параллель болатын АВ диаметрін жүргіземіз. АВ диаметріне түйіндес СD диаметрін жүргіземіз. Р нүктесінен СD диаметріне параллель жүргізілген РR түзуі ізделінді перпендикуляр болып табылады.

Дәлелдеу: Шындығында:

1) Түпнұсқадан СОВ және PRN бұрыштарды өзара перпендикуляр және бірдей бағытталған қабырғалардың бұрыштарының кескіні болып табылады;

2) АВ және СD диаметрлері өзара түйіндес болғандықтан СОВ бұрышы тік бұрыштың кескінін береді;

3) Сызбада МN║АВ және PR║CD болғандықтан PRN тікбұрышы Р нүктесінен МN түзуіне түсірілген перпендикулярдың кескінін береді.

7-есеп: Бір жазықтықта шеңбер мен бұрыш берілген. Сызбада олар сәйкесінше эллипс және ВАС бұрышы болып кескінделген (77-сурет). Түпнұсқадағы берілген бұрыштың биссектрисасының кескінін салу керек.

Шешуі: Параллель проекциялауда бұрыштардың қатынасы сақталмайтындығын ескере отырып, сызбада ВАС бұрышына тікелей биссектриса жүргізу дұрыс болмайтындығын ескереміз. Олай болса, эллипс центрінен ОВ₁║АВ және ОС₁║АС сәулелерін жүргіземіз. Ол сәулелердің эллипспен қиылысу нүктелерін В₁, С₁ кесіндімен қосып В₁С₁ хордасын аламыз. Оны N₁ нүктесінде қақ бөлеміз. АN║ON₁ түзуі түпнұсқада берілген бұрыштың биссектрисасының кескіні болып табылады.

Шындығында, ON₁ сәулесі түпнұсқадағы В₁ОС₁ бұрышының биссектрисасы болып табылады. Өйткені, шеңбердің хорданы қақ бөлетін диаметрі оны керетін доғасында қақ бөледі. Сонымен қатар, В₁ОN₁= BAN , N₁ОС₁= NAC және бірдей бағытталған. Бұл теңдіктер түпнұсқада да орындалады.

8-есеп: Бір жазықтықта жатқан шеңбер, бұрыш және түзу берілген. Сызбада олардың кескіндері сәйкесінше эллипс, АВС бұрышы және МN түзуі (78-сурет). Сызбада төбесі М және бір қабырғасы МN болатын берілген бұрышқа тең бұрыш салу керек.

Шешуі: Эллипс бойының кез келген жерінен К нүктесін алып мынадай екі сәуле жүргіземіз КL║AB, KS║BC. L және S нүктелері осы сәулелердің эллипспен қиылысу нүктелері. S нүктесінен МN түзуіне параллель ТS түзуін жүргіземіз. S және Т нүктелерінен STL бұрышы SКL бұрышымен бірдей доғаны керетіндей етіп таңдап алынған LТ түзуін жүргіземіз. М нүктесі арқылы МR║LТ түзуін жүргіземіз. RMN бұрышы ізделінді кескін болып табылады.

Шындығында, LKS және LTS бұрыштары бірдей доғаны керетін ішкі бұрыштар болғандықтан өзара тең бұрыштардың кескіні болып табылады. Ал LKS= АВС өйткені LК║AB, KS║BC. LT║RM, TS║MN LТS= RMN тең бұрыштардың кескіні болып табылады.

9-есеп: Сызбада шеңбердің кескіні болып табылатын эллипс және осы жазықтықта жатқан кесіндінің кескіні АВ, түзудің кескіні болып табылатын MN түзуі салынған (79-сурет). Түпнұсқада берілген кесіндіге тең және түзуге тиісті болатын кесіндінің кескінін салу қажет.

Шешуі: Эллипстің О центрі арқылы АВ және MN түзулеріне параллель ОК және ОR түзулерін жүргіземіз. ОК түзуіне ОР=АВ кесіндісін өлшеп саламыз. ОК және ОR түзулерінің эллипспен қиылысу нүктелері К мен R нүктелерін хордамен қосамыз. Сонда ∆КОR үшбұрышы теңбүйірлі үшбұрыштың кескінін береді. Р нүктесінен КR хордасына параллель РТ кесіндісін жүргізіп, ∆РОТ теңбүйірлі үшбұрышын аламыз. Өйткені ∆РОТ үшбұрышы ∆КОR теңбүйірлі үшбұрышына ұқсас. Онда ОР мен ОТ кесінділері тең кесінділердің кескіні болады. Проекциялауда параллель кесінділердің қатынастары сақталатындығын ескерсек MN түзуінің бойына СD=ОТ кесіндісін өлшеп салып, ізделінді салуды орындаймыз.

Бұл есептерді шығару кезінде мұғалім барлық уақытта оқушылардың кескіндеуі қажетті геометриялық объектілер туралы кеңістіктік түсініктерін қалыптастыру мақсатында іс-әрекеттер жасап отыруы қажет.

8-ші және 9-шы есептерді шығарғанда алынған кескіндегі бұрыш пен кесіндінің өлшемінің кеңістікте берілген фигура мен бейнелеу жазықтығының өзара орналасу жағдайына тәуелді болатындығына назар аудару қажет. Тең бұрыштар мен тең кесінділер кескіндегенде тең емес бұрыштар мен тең емес кесінділер болып кескінделуі мүмкін. Оқушылар бұл фактімен квадратты кескіндеу барысында кездескен болатын. Квадраттың кескіні параллелограмм болып кескінделгенде оның тік бұрыштарының екеуі сүйір, екеуі доғал, ал параллель емес қабырғаларының теңдігі өзгеріске ұшырайды. Сонымен бұл қарастырылған 8-ші және 9-шы есептер метрика берілген жағдайда тең бұрыштар мен кесінділерді кескіндеудің жалпы әдісін береді.

Метрика берілгеннен кейінгі кескінді салу есебін мынадай үш түрге бөлуге болады. Бірақ бұл бөлулер таза шартты сипатта берілген деп қарастыру керек. Дегенмен ол біріншіден, оқушылар мен мұғалімнің назарын нақты бір бағытқа аударуға мүмкіндік береді, екіншіден әр түрдегі есептерді шығару барысында қойылатын талаптарға қарай мұғалім есепті шығаруға кететін уақытты болжай алады.

Бірінші түрі. Фигуралардың бірі көмекші роль атқаратын кескінді салу есептері, яғни оның кескіні тек метриканы анықтау үшін қолданылады. Бұл түрге жоғарыда қарастырылған 6-9 есептермен қатар үшбұрыштардың, тіктөртбұрыштардың, параллелограмдардың кескіндерін салу есептері жатады. Бұл түрдегі есептерді шығаруға қойылатын негізгі мақсат оқушылардың метрикалық анықталған кескіндерді орындау дағдыларын қалыптастыру.

Екінші түрі. Қандай да бір фигураның метриканы анықтайтындығын бекітетін есептер. Мұндай есептерді шығара отырып оқушылардың метрикалық анықталған кескін мен метрикалық анықталмаған кескінді ажырата алу мүмкіндіктерін қалыптастырамыз.

Үшінші түрі. Бұл түрге метрикалық анықталған фигураларды кескіндеуге берілген салу есептеріндегі метриканы анықтайтын фигура орындалатын кескіннің құрамдас бір бөлігі болып табылатын есептерді жатқызамыз. Мұндай есептерге шеңберге сырттай және іштей сызылған фигураларды кескіндеу, сонымен қатар ол фигураның бірі метриканы анықтайтын салу есептерін алуға болады. Бірінші түрдегі есептерді шығаруды игерген оқушылар үшін бұл түрдегі есептерді шығару аса үлкен қиындық туғызбайды.