Тема 3. Устойчивость линейных систем САУ

САУ называется устойчивой, если с течением времени выходная величина стремится к установившемуся значению при постоянном значении входного сигнала. Линейная САУ называется неустойчивой, если выходная величина неограниченно возрастает с течением времени.

Динамика линейных САУ, как отмечалось нами ранее, описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:

a_n∙y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)∙y^(n-1) + ∙∙∙ + a₀∙y = b_m∙x^(m) + b_(m-1)∙x^(m-1) + ∙∙∙ + b₀∙x (1)

Равенство (1) выводится из уравнений отдельных звеньев, образующих систему САУ. Параметры же переходного процесса в САУ определяются решением однородного дифференциального уравнения, получаемого путем приравнивания левой части равенства (1) нулю:

a_n∙y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)∙y^(n-1) + ∙∙∙ + a₀∙y = 0 (2)

Решение данного уравнения имеет вид: y(t) = , (3)

где C_i – постоянные интегрирования;

p_i – корни характеристического уравнения, получаемого путем замены в уравнении (2) знака дифференцирования на оператор Лапласа р:

a_n∙р⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)∙р^(n-1) + ∙∙∙ + a₀ = 0 (4)

Как видим, выражение (3) представляет собой сумму экспоненциальных функций. Система будет устойчивой, если выполняется условие:

y(t) → 0, при t → ∞.

Это условие будет выполнено только в одном случае, если все экспоненты в правой части равенства (3) будут стремиться к нулю. А любая экспоненциальная функция от времени будет стремиться к нулю, если показатель ее степени будет отрицательным числом. Отсюда можно сделать следующие выводы. Система САУ будет устойчива, если:

1) все корни p_i характеристического уравнения являются действительными отрицательными числами (p_i< 0);

2) если имеется пара комплексных и сопряженных корней типа p_i,i+1 = α +_ jβ, то в равенство (3) входят слагаемые:

C_ie^{(α + jβ)t} + C_i+1e^{(α - jβ)t} = C_ie^αt∙e^jβt + C_i+1e^αt∙e ^–jβt =

= C_ie^αt∙[cos(βt) + jsin(βt)] + C_i+1e^αt∙[cos(βt) - jsin(βt)].

Поэтому при α< 0 и C_i = C_i+1 в график функции y(t) данные слагаемые входят как затухающие по амплитуде косинусоидальные составляющие.

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является наличие отрицательного знака действительной части корней характеристического уравнения. Впервые это условие для механических систем сформулировал и доказал русский ученый А.М. Ляпунов.

При наличии, хотя бы одного корня с положительной действительной частью график функции y(t) будет представлять собой возрастающую экспоненту или косинусоиду, и процесс регулирования будет неустойчивым.

Если хотя бы один из корней (p_i= 0), то функция y(t) будет содержать постоянную составляющую C_ie^pit = C_i, что соответствует нахождению САУ на грани устойчивости. В аналогичном состоянии будет находиться система в случае наличия чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Рассмотренное условие устойчивости относится к линейным САУ. Но практически все реальные САУ являются нелинейными и только приближенно многие из них можно описать линейными уравнениями. Так, например, Ляпунов доказал, что по устойчивости линеаризованной системы можно судить об устойчивости исходной нелинейной системы.

Однако, для того, чтобы выяснить, устойчива система или нет, не обязательно решать дифференциальное уравнение, что весьма трудоемко при порядке уравнения более 3. Достаточно определить знаки действительных частей корней характеристического уравнения по другим критериям.

С этой целью разработаны различные алгебраические критерии устойчивости систем САУ, в основу которых положен следующий принцип, Поскольку корни p_i характеристического уравнения определяются коэффициентами а_i , то по знакам последних можно приближенно оценить устойчивость систем.

Так алгебраические критерии, предложенные Раусом, Гурвицем и Неймарком, позволяют оценить устойчивость системы с помощью алгебраических операций над коэффициентами характеристического уравнения, в случае, если все они имеют положительные знаки.

Ограничимся с вами рассмотрением критерия устойчивости Гурвица.

По характеристическому уравнению (4) составляется главный определитель n-го порядка Δ_n, для чего по его главной диагонали слева на право выписываются коэффициенты в порядке убывания их индексов, начиная с а_n-1. В строках левее главной диагонали выписываются коэффициенты с последовательно убывающими индексами, а правее – с возрастающими. Места коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля заполняются нулями.

Δ_n = (5)

Из главного определителя последовательным отчеркиваниемm строк и m столбцов, начиная с диагонального элемента a_{n – 1} с индексом (n – 1), находятся определители (диагональные миноры):

Δ₁ = Δ₂= ; Δ₃ = ; …; Δm = … (6)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители от Δ₁ до Δ_nбыли положительны: Δ₁> 0; Δ₂> 0; Δ₃> 0; … ;Δ_m> 0; …

В частности, для системы третьего порядка критерий Гурвица принимает более простой вид: a₃> 0; a₂> 0; a₁> 0; a₀> 0;

Δ₂ = = a1∙a2 – a0∙a3 > 0. (7)

Наряду с алгебраическими методами оценки устойчивости систем САУ часто применяют частотные методы устойчивости. В практике наиболее широкое применение получил критерий устойчивости Михайлова, основанный на анализе левой части характеристического уравнения (4) замкнутой системы САУ после замены в нем оператора Лапласа р на комплексную переменную jω:

V(jω) = a_n∙(jω)⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)∙(jω)^(n-1) + ∙∙∙ + a₁∙(jω) + a₀. (8)

Многочлен V(jω) представляет собой вектор в комплексной плоскости, значение которого определяется величинами действительной N(ω) и мнимой M(jω) составляющих: V(jω) = N(ω) + jM(ω).

При изменении частоты от нуля до бесконечности вершина вектора V(jω) вычерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется годографом или кривой Михайлова. Для построения такого годографа достаточно определить частоты, при которых происходит его пересечение с вещественной и мнимой осями координат.

Частоты ω_m, при которых годограф пересекается с вещественной осью, определяются из уравнения M(ω) = 0. После чего найденные частоты подставляются в выражение для действительной части N(ω_m).

Частоты ω_n, при которых годограф пересекается с мнимой осью, определяются из уравнения N(ω) = 0. После чего найденные частоты подставляются в выражение для мнимой части М(ω_n).

Например, для характеристического уравнения третьего порядка (n = 3) многочлен (8) V(jω) принимает следующий вид:

V(jω) = a₃∙(jω)³ + a₂∙(jω)² + a₁∙(jω) + a₀ =

= (a₀ - a₂∙ω²) + jω∙( a₁ - a₃∙ω²), (9)

Здесь: N(ω) = a₀ - a₂∙ω²; M(ω) = ω∙( a₁ - a₃∙ω²).

Приравнивая к нулю поочередно действительную N(ω) и мнимую M(ω) части уравнения (9), можно найти в аналитической форме значения ω, N(ω) и M(ω):

M(ω) = 0; ;

N(ω) = 0; . (10)

Подставив численные значения коэффициентов a0, a1, a2 и a3 в выражения (10), можно построить на комплексной плоскости годограф Михайлова, по внешнему виду которого определяют устойчивость САУ следующим образом.

САУ будет устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начиная с точки M(0) = a₀, лежащей на вещественной положительной полуоси, охватывает начало координат и последовательно проходит в направлении против часовой стрелки количество квадрантов, равное степени n характеристического уравнения, нигде не обращаясь в нуль и уходя в последнем квадранте в бесконечность.

Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то САУ находится на границе устойчивости.

Есть еще ряд частотных критериев устойчивости САУ, к которым мы возможно вернемся после знакомства с частотными характеристиками САУ.