IV. Элементы многомерной геометрии
Вопросы к экзамену по геометрии для студентов 1 курса (1семестр)
Специальность «Математика и информатика» Лектор – доц. Гусева Н.И.
I Векторная алгебра
1.Направленные отрезки, эквипалентные направленные отрезки, векторы
2. Лемма об откладывании вектора от точки
3. Сложение векторов, свойства сложения. Разность векторов
4.Произведение вектора на число и его свойства
5. Коллинеарные векторы, теорема о коллинеарных векторах
6. Компланарные векторы. Теорема о компланарных векторах
7.Базис.Координаты вектора относительно базиса. Координаты суммы векторов, произведения вектора на число, связь координат коллинеарных векторов
8.Скалярное произведение векторов, его вычисление к ортонормированном базисе. Свойства скалярного произведения. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
9.Векторные подпространства: одномерные и двумерные векторные подпространства
10. Ориентация векторных пространств V2 и V3: определитель матрицы перехода от базиса к базису, две ориентации пространств V2 и V3
11.Векторное произведения векторов, его вычисление в ортонормированном базисе
12. Смешанное произведения векторов, его связь с векторным, вычисление через координаты.
13. Свойства векторного и смешанного произведений векторов.
14. Ориентированный угол в векторном подпространстве, вычисление синуса и косинуса ориентированного угла через координаты векторов
П. Метод координат на плоскости и в пространстве
1. Координаты точек на плоскости и в пространстве. Решение простейших задач в координатах: координаты вектора, простое отношение трех точек.
2. Преобразование аффинных систем координат: вывод формул, частные случаи преобразований.
3. Уравнение линии на плоскости, независимость порядка алгебраической линии от выбора аффинной системы координат. Вывод уравнения окружности
4. Уравнение поверхности, независимость порядка алгебраической поверхности от выбора аффинной системы координат. Вывод уравнения сферы.
Ш. Прямая линия на плоскости. Прямые и плоскости в пространстве
1. Аналитическое задание прямой линии на плоскости (различные виды уравнения)
2. Прямая как алгебраическая линия первого порядка (Теорема: любое линейное уравнение определяет прямую). Лемма о параллельности вектора прямой.
3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
4. Расположение точек относительно прямой на плоскости.
Аналитическое задание полуплоскости
5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
6. Угол между двумя прямыми на плоскости
7. Аналитическое задание плоскости в пространстве (различные виды уравнения)
8. Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка (Теорема: любое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве) Лемма о параллельности вектора плоскости
9. Взаимное расположение двух плоскостей
10. Расположение точек относительно плоскости. Аналитическое
задание полупространства
11. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями
12. Аналитическое задание прямой линии в пространстве (различные виды уравнений)
13. Взаимное расположение прямой и плоскости.
14. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
15. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми
16. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью
IV. Элементы многомерной геометрии
1. Векторное пространство и его свойства
2.Линейно зависимые и независимые системы векторов, свойства линейно зависимых и независимых систем векторов
3. Размерность векторного пространства (аксиомы размерности). Базис векторного пространства
Координаты вектора в базисе
4. Векторные подпространства. Линейная оболочка системы векторов
5. Билинейные формы, матрица билинейной формы, симметрические билинейные формы. Сопряженность векторов относительно билинейной формы. Квадратичные формы
7.Аффинное пространство и его свойства. Простое отношение трех точек, отрезок, луч
8. k-плоскости в аффинном пространстве (параметрическое и общее уравнения)
9. Взаимное расположение двух гиперплоскостей
10. Евклидово векторное пространство, длины векторов, угол между векторами.
11. Евклидово точечное пространство, расстояние между точками, величина угла.
Литература
1. Кириченко В.Ф. и др. Геометрия. Ч. 1. Москва. Академия 2012
2. Атанасян.Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1. Москва., Кнорус 2011.
3.Гусева Н.И., Денисова Н.С., Тесля О.Ю. Сборник задач по геометрии. Часть 1. Москва КноРус.
2012.
4.Гусева Н.И., Денисова Н.С., Тесля О.Ю. Сборник задач по геометрии. Часть 2. Москва КноРус.
2012.
5.Силаев Е.В., Тимошенко В.В. Практические занятия по геометрии 1 семестр. М.Прометей 1989
6.Силаев Е.В., Тимошенко В.В. Практические занятия по геометрии 2 семестр. М.ЦНТИ 1992