Расчетно-графического задания

Система называется статически неопределимой, если для определения усилий в ее элементах недостаточно уравнений равновесия (статики), т.е. когда число неизвестных усилий (реакций опор) больше числа уравнений равновесия. Степень статической неопределимости системы рассчитывается следующим образом:

К = R – Y,

где К – степень статической неопределимости системы; R – число неизвестных усилий (реакций); Y – число уравнений равновесия. Для расчета статически неопределимых систем уравнения статики дополняют необходимым числом уравнений деформации элементов конструкции, для составления которых используются условия совместности деформаций.

Число дополнительных уравнений должно равняться степени статической неопределимости системы К. Условия совместности деформаций формулируются, исходя из требований сохранения целостности системы и ее способности выполнять свое функциональное назначение при заданной нагрузке. В статически неопределимой системе усилия в ее элементах могут возникать как вследствие действия внешних нагрузок, так и за счет перераспределения деформаций, вызванных изменением температурных режимов работы системы (температурные напряжения) или неточностью изготовления этих элементов (монтажные напряжения).

Для статически неопределимых систем применяемый способ расчета по допускаемым нагрузкам позволяет использовать дополнительные резервы прочности, повысить несущую способность конструкции и указывает на возможность более экономного расходования материала.

При выполнении расчетно-графической работы следует обратить внимание на единство статической, геометрической и физической сторон задачи расчета статически неопределимых систем.

Порядок выполнения расчетно-графической работы:

1) составить уравнения статики для заданной системы;

2) определить степень статической неопределимости системы;

3) построить схему перемещений элементов системы;

4) составить уравнения совместности деформаций;

5) выразить уравнения совместности деформаций через усилия или напряжения, используя закон Гука;

6) решить систему уравнений статики и совместности деформаций относительно неизвестных усилий (напряжений);

7) исходя из условий прочности, подобрать конструктивные размеры (сечения) стержней.

2.2. Пример расчета статически неопределимой стержневой системы

Рассчитываемая система представляет собой стержневую конструкцию с одной шарнирной опорой и двумя деформируемыми тягами (рис. 2.1). Заданы материалы стержней: стержень 1 – сталь, стержень 2 – медь; модули упругости их при растяжении–сжатии: Е₁ = 2×10⁵ МПа; Е₂ = 1×10⁵ МПа; внешняя сила Р = 2×10⁵ Н; коэффициенты линейного расширения материалов стержней ⁰C^-1, ⁰C^-1. Неточность изготовления элемента системы: стержень 2 изготовлен длиннее на величину d= 0,002×l₂. Изменение температуры окружающей среды DТ = +20°С (нагрев).

Допустимые напряжения для материалов каждого из стержней: [s]₁ = 160 МПа, [s]₂ = 100 МПа. Конструктивное соотношение площадей стержней F₁/F₂ = 2. Геометрические размеры системы: а = 1 м, b = 1 м, с = 1 м, a₁ = 30°, a₂ = 60°.

Определить величины F₁, F₂, учитывая, что балка AD (см. рис. 2.1) предполагается абсолютно жёсткой и невесомой.

2.2.1. Расчет усилий от внешней силы Р (DТ = 0, d = 0)

Вычертим расчётную схему балки с указанием всех размеров. Для расчёта усилий используем метод сечений. Сечения проведём через оба стержня. Рассмотрим равновесие нижней части системы, заменяя действие отбрасываемой верхней части стержней внутренними усилиями (реакциями) S₁, S₂ (рис. 2.2).

Составим уравнение статики:

åМ_А =- S₁×a×sina₁ - S₂(a + b)sina₂ + P(a + b + c) = 0 (2.1)

или

S₁×a×sina₁ + S₂(a + b)sina₂ = P(a + b + c).

Остальные уравнения статики можно не составлять, так как они необходимы лишь при определении реакций в шарнире X_A, Y_A, чего не требуется по условию задачи.

Таким образом, степень статической неопределимости системы К = 1, так как имеем два неизвестных усилия S₁, S₂ и одно уравнение равновесия статики.

Для составления условия совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещений элементов системы (рис. 2.3).

Под действием внешней силы Р первый стержень удлинится на величину Dl₁, а второй – на величину Dl₂, при этом жёсткая балка AD повернётся в положение AD₁. Ввиду малости упругих деформаций, горизонтальными смещениями точек В и С, лежащих на оси балки, пренебрежем и будем считать, что точки В и С в ходе деформирования системы переместятся вертикально и займут положение В₁ и С₁. Положение этих точек определяется пересечением линии AD и перпендикуляров, проведенных к первоначальному направлению осевой линии балки AD в точки В и С.

Удлинения Dl₁ и Dl₂ находим также графически, для чего из точек В и Сопустим перпендикуляры на линии О₁В₁ и О₂С₁, соответствующие новым положениям стержней 1 и 2 после приложения нагрузки Р. Отрезки В₁В₂ и С₁С₂ определяют удлинения стержней - соответственно Dl₁ и Dl₂.

Условие совместности деформаций в данном случае проще всего составить, воспользовавшись подобием треугольников АВВ₁ и АСС₁:

(2.2)

Из треугольников ВВ₂В₁ и СС₂С₁ определим:

(2.3)

Подставив равенства (2.3) в формулу (2.2), получим условие совместности деформаций для заданной стержневой системы:

(2.4)

или

Dl₁ = Dl₂×k,

где - безразмерный коэффициент, учитывающий особенности геометрической конфигурации системы.

Используя закон Гука для каждого из стержней, из уравнения (2.4) получим

Учитывая, что l₁ = h/sina₁; l₂ = h/sina₂ (см. рис. 2.3), последнее соотношение можно переписать следующим образом:

(2.5)

Далее решаем совместно систему уравнений (2.1) и (2.5):

Из последних выражений при известном отношении F₁/F₂ находим численные значения усилий: S₁ = 19,4×10⁴ H (растяжение), S₂ = 29,1×10⁴ H (растяжение). Проверка правильности найденных численных значений производится путём подстановки полученных значений S₁ и S₂ в уравнение равновесия (2.1):

2.2.2. Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления (Р = 0, DТ = 0, d ¹ 0)

Пусть первый стержень изготовлен с неточностью по длине +d₁, а второй – с неточностью +d₂, т.е. с фактической длиной, несколько большей номинальной. Тогда при сборке в них появятся внутренние напряжения. Расчётная схема при этом будет выглядеть так, как показано на рис. 2.4.

Знаки внутренних усилий будут разными, так как при сборке необходимо второй стержень растянуть на величину Dl₂, и в нём появятся растягивающие усилия S₂. Первый стержень будет «сопротивляться» этому, что приведёт к необходимости его сжатия на величину Dl₁, и в нём возникнут сжимающие усилия S₁.

Уравнение равновесия для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

+S₁×a×sina₁ - S₂(a + b)sina₂ = 0. (2.6)

Из схемы перемещений (рис.4) получим:

B₂B₁ = D₁ = d₁ -Dl₁; C₂C₁ = D₂ = d₂ + Dl₂. (2.7)

Соотношение между D₁ и D₂ находим аналогично п.1:

D₁ = D₂×k. (2.8)

Подставив выражения (2.7) в равенство (2.8), получим условие совместности деформаций:

d₁ - Dl₁ = (d₂ + Dl₂)×k. (2.9)

Выразив согласно закону Гука удлинения Dl₁ и Dl₂ через усилия S₁, S₂, преобразуем уравнение (2.9):

(2.10)

Перейдём в уравнении (2.10) к новым переменным, в качестве которых выберем монтажные напряжения

Тогда, выразив l₁ и l₂ через h, уравнению (2.10) можно придать следующий вид:

(2.11)

Перепишем уравнение (2.6) в напряжениях:

(2.12)

Решим систему уравнений (2.11) и (2.12) относительно неизвестных напряжений :

(2.13)

Если задать d₁ = 0, d₂ = 0,002l₂, то из уравнений (2.13) получим: = -55,9 МПа; = -32,3 МПа. Отрицательные значения найденных напряжений означают, что принятые направления усилий в стержнях S₁ и S₂ противоположны фактическим, т.е. первый стержень растягивается, а второй – сжимается: = 55,9 МПа (растяжение); = -32,3 МПа (сжатие).