Критерии устойчивости линейных систем

Критериями устойчивости называют правила, позволяющие оценивать местоположение корней характеристического уравнения линейных систем на комплексной плоскости без их непосредственного вычисления. Для оценки местоположения корней критерии оперируют с характеристиками систем, тесно связанными с характеристическим уравнением.

По критериям особенно удобно определять устойчивость систем, заданных структурными схемами в виде, показанном на рис. 2.1, где передаточная функция разомкнутой системы

(2.4)

V(s) E(s) Y(s)

-

Рис. 2.1

является отношением многочленов:

В(s) = b₀ s^m + b₁s^m-1 + …+ b_m;

D(s)=d₀sⁿ+d₁s^n-1+ …+ d_n, n ≥ m. (2.5)

Уравнение D(s)=0 является характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Все критерии устойчивости делят, в основном, на две группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии для оценки устойчивости оперируют с коэффициентами характеристического уравнения замкнутой системы

Д(s)=D(s)+B(s)=a₀sⁿ+a₁s^n-1+…+a_n. (2.6)

Наиболее известными среди них являются критерии Рауса, Гурвица, Льенара-Шипара [2]. Частотные критерии для оценки устойчивости используют различные частотные характеристики, такие как Д(jω) = Д(s)| s = jω; W(jω) = W(s)|s = jω; L(ω) = 20lg |W(jω)| и φ(ω) = arg W(jω). Наиболее известными являются критерии Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий устойчивости [5].

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица использует для оценки местоположения корней уравнения Д(s)=0 коэффициенты . Прежде всего проверяется необходимый признак устойчивости вида a_i > 0, i = . Если он не выполняется, то система не является асимптотически устойчивой. При этом дальнейший анализ устойчивости, как правило, нецелесообразен. При выполнении условия a_i>0, i= составляется матрица Гурвица по следующему правилу. По главной диагонали последовательно выписывают все коэффициенты характеристического многочлена (2.6), начиная с а₁. Вниз от элементов главной диагонали столбцы заполняют коэффициентами с

последовательно убывающими индексами, и нулями, когда индексы становятся отрицательными. Вверх от главной диагонали столбцы заполняются коэффициентами a_i с возрастающими индексами и нулями, когда индекс должен бы быть больше n. Строки матрицы состоят из коэффициентов a_i либо только с нечетными, либо только с четными индексами и нулями.

Если диагональные миноры (2.7) матрицы Гурвица положительны (Δ_i>0, i= ), то все корни характеристического уравнения Д(s) левые (Re s_i < 0, i = ). Если хотя бы один минор Δ_k, k Î матрицы Гурвица отрицателен то, по крайней мере, один из

(2.7)

корней правый ( ).

Если взять характеристический многочлен устойчивой системы и изменять его коэффициенты так, чтобы система стала неустойчивой, то, по крайней мере, один из миноров Δ_i матрицы Гурвица должен обратиться в ноль, а затем принимать отрицательные значения. Первым среди Δ_i обращается в ноль минор Δ_n-1. В этом случае все корни характеристического уравнения левые, за исключением одной пары чисто мнимых корней. Этот случай называют критическим. Последнее свойство миноров Δ_i, iÎ , называемых еще определителями Гурвица, используют для нахождения критического (граничного) коэффициента усиления разомкнутой системы , при котором в характеристическом уравнении есть пара чисто мнимых корней, а остальные левые. Условия для определения k = k_кр имеют вид

Δ_i (k) > 0, i = ; Δ_n-1 (k) = 0. (2.8)

Для n = 3 все Δ_i >0, i = , если a₁ > 0, a₁a₂ – a₀a₃ >0. Для n = 4 требуется еще выполнение условия a₁a₂a₃ – a₀ a²₃ – a²₁a₄ > 0.