Краткие теоретические сведения. Таблица 2.4 – Основные законы и формулы Физические законы, переменные Формулы Внутренняя энергия U газа массой m; i – число степеней

Таблица 2.4 – Основные законы и формулы

Физические законы, переменные	Формулы
Внутренняя энергия U газа массой m; i – число степеней свободы; μ – молярная масса газа; R - универсальная газовая постоянная; Т - температура
Изменение внутренней энергии dU идеального газа при изменении температуры на величину dT
Элементарная работапо расширению и сжатию газа: где р – давление газа, dV – изменение объема газа.
Полная работа
Работа газа при изотермическом расширении
Работа газа при изобарном расширении
Работа газа при изохорном процессе:
Количество теплоты Q, необходимой для нагревания тела массой m; c – удельная теплоёмкость
Первый закон термодинамики: где Q – количество теплоты, подводимое к системе; ΔU – изменение внутренней энергии; А – работа, совершаемая системой против внешних сил.
Удельная теплоемкость:
Молярная теплоемкость: 1) молярная теплоемкость изохорная; 2) молярная теплоемкость изобарная где R - универсальная газовая постоянная, i – число степеней свободы	; 1) ; 2) ;
Уравнение Майера:
Уравнение политропы:
Показатель политропы:
Работа газа при политропном процессе:
Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона):
Уравнение адиабаты:
Коэффициент полезного действия η тепловой машины; Q1 – теплота, передаваемая рабочему телу нагревателем; Q2 – теплота, передаваемая рабочим телом холодильнику
Коэффициент полезного действия ηк идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно; Т1 - температура нагревателя, и Т2 - температура холодильника
Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2: где dQ – количество теплоты, Т – термодинамическая температура.

Примеры решения задач

1. Внутренняя энергия некоторого количества азота при температуре 20º равна 4·10³ Дж. Определить массу газа.

Дано:

μ₂(N₂)=24·10^-3кг/моль,

t = 20ºC, Т = 273+20=293 К

U = 4·10³ Дж.

Найти:

m– ?

Решение

Внутренняя энергия газа

,

где m – масса газа, μ – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, T – термодинамическая температура, i – число степеней свободы молекулы, так как азот двухатомный, то i=5, тогда

,

,

Ответ: .

2. Одноатомный газ был нагрет при постоянном давлении р = 90 кПа. В результате его объем увеличился на DV = 2 см². Найти: 1) совершенную газом работу, 2) приращение внутренней энергии DU газа, 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

Дано:

р = 90 кПа = 90·10³Па,

DV = 2 см³ = 2·10^-6м³,

p=const,

i = 3.

Найти:

А – ?

DU– ?

Q– ?

Решение

При изобарном процессе Р = const первый закон термодинамики можно записать в виде:

,

где А – работа ,

,

р – давление газа, DV – изменение объема газа.

,

ΔU – изменение внутренней энергии газа, вычисляется по формуле:

,

где i – показатель степени свободы молекулы, i = 3, так как гелий одноатомный газ, R –универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса гелия. Из уравнения Менделеева – Клапейрона

,

тогда

,

Количество теплоты

.

Ответ: , , .

3.Газ расширяясь изобарно при давлении 2^.10⁵ Па, совершает работу 200 Дж. Определить первоначальный объем газа, если конечный объем равен 2,5 л.

Дано:

р=2^.10⁵ Па,

А = 200 Дж,

p=const,

V₂ = 2,5 л = 2,5·10^-3м³.

Найти:

V₁– ?

Решение

Работа при изобарном процессе вычисляется по формуле:

,

где р – давление газа, V₁ – начальный объем, V₂ – конечный объем газа, отсюда

,

,

Ответ: .

4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме c_v и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Дано:

i(Ne) = 3,

i(H₂) = 5

μ(Ne) = 20·10^-3 кг/моль,

μ(H₂) = 2·10^-3 кг/моль,

Найти:

c_v – ?

с_р – ?

Решение

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

, ,

где i – число степеней свободы молекулы газа; μ – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ = 20·10^-3 кг/моль.

Произведем вычисления:

,

.

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 2·10^-3 кг/моль. Тогда:

,

.

Ответ: для неона: , ; для водорода: , .

5. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением Р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления Р_з = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Дано:

m = 2 кг,

V₁ = 1 м³,

Р₁ = 0,2 МПа = 0,2·10⁶Па,

V₂ = 3 м³,

Р_з = 0,5 МПа = 0,5·10⁶Па

Найти:

ΔU – ?

А – ?

Q – ?

Решение

Изменение внутренней энергии газа равно:

,

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения состояния идеального газа: , откуда

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой:

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю: . Следовательно, полная работа, совершаемая газом, .

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q,переданное газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А:

.

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода μ = 32·10^-3 кг/моль:

,

,

.

Ответ:

6. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т₁ = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n₁ = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Дано:

m = 0,02 кг,

Т₁ = 300 К,

n₁ = 5 раз,

n₂ = 5 раз.

Найти:

Т₂ – ?

А₁ – ?

А₂ – ?

Решение

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением:

или ,

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; . Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

.

Работа А₁ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле:

,

где C_v – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

или ,

где .

Найдем числовые значения искомых величин, учитывая, что для водорода как двухатомного газа γ = 1,4, i = 5 и μ = 2·10^-3 кг/моль:

.

,

.

Знак «минус» показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.

График процесса приведен на рисунке

Ответ: , ,

7. 10 г кислорода находятся под давлением 3 бар при температуре 10^о С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти: 1) количество тепла, полученного газом; 2) энергию теплового движения газа до и после нагревания.

Дано:

m=10г =10^-2кг,

р=3 бар =3·10⁵Па,

V =10 л = 10^-2м³.

Найти:

ΔQ – ?

W₁ – ?

W₂ – ?

Решение

1 Количество тепла, полученного газом, найдем по формуле:

.

Чтобы Т₂, запишем уравнение состояния газа до нагревания: и после нагревания: . Из этих уравнений получаем: , где . Следовательно,

.

Таким образом, ,

.

2 Энергия газа до нагревания может быть найдена по формуле:

.

Энергия газа после нагревания:

.

Ответ: , , .

8. В закрытом сосуде объемом 10 л находится воздух при давлении 10⁵ Па. Какое количество тепла надо сообщить воздуху, чтобы повысит давление до 5·10⁵ Па?

Дано:

V = 10л =10^-2м³,

р₁ = 10⁵Па,

р₂ = 5·10⁵Па.

Найти:

Q – ?

Решение

Количество теплоты, которое необходимо сообщить воздуху, находится по формуле:

.

Чтобы найти ΔТ, запишем уравнение состояния газа до и после нагревания. Так как , то:

и .

Отнимая из первого уравнения второе, получим:

или .

Теплоемкость воздуха при постоянном объеме определяется формулой: , где - число степеней свободы для двухатомного газа (воздух принимается за двухатомный газ). Подставляя два последних уравнения в первую формулу, получим:

,

.

Ответ:

9. Какой должна быть температура нагревателя, для того чтобы в принципе стало возможным достижение значения КПД тепловой машины 80%, если температура холодильника 27⁰С?

Дано:

η=80%,

Т₂ = 27⁰С.

Найти:

Т₁ – ?

Решение

КПД идеальной тепловой машины:

, (1)

где Т₁ – температура нагревателя, Т₂ – температура холодильника.

Преобразуем выражение (1)

.,

,

,

,

Т₂ = 27+273=300К,

.

Ответ: .

10.Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Определить к.п.д. цикла, если известно, что за один цикл была произведена работа, равная 3000 Дж, и холодильнику было передано 1,35·10⁴ Дж теплоты.

Дано:

А = 3000 Дж,

Q₂ = 1,35·10⁴ Дж.

Найти:

η – ?

Решение

КПД тепловой машины

, (1)

где А – совершаемая работа, Q₁ – количество теплоты полученное от нагревателя.

Работа равна:

,

где Q₂ – количество теплоты, преданное холодильнику, отсюда

,

тогда

,

.

Ответ: .

11. В процессе работы тепловой машины за некоторое время рабочим телом было получено от нагревателя количество теплоты Q₁=1,5·10⁶Дж, передано холодильнику Q₂=-1,2·10⁶Дж. Вычислите КПД машины и сравните его с максимально возможным КПД машины, если температура нагревателя и холодильника соответственно равны 250⁰С и 30⁰С.

Дано:

Q₁=1,5·10⁶Дж,

Q₂=-1,2·10⁶Дж,

Т₁ = 250⁰С,

Т₂= 30⁰С.

Найти:

η₁ – ?

η₂ – ?

Решение

КПД тепловой машины

,

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя, Q₂ – количество теплоты, преданное холодильнику,

КПД идеальной тепловой машины:

,

где Т₁ – температура нагревателя, Т₂ – температура холодильника.

Т₁ = 250+273=523К, Т₂ = 30+273=303К, тогда

.

Ответ: ,