M-кратное сравнение с разными эталонами

Сравнение m с разными эталонами, имеющими номинальные меры , дает интересные результаты. Эталоны, используемые последовательно для сравнения, характеризуются составляющими погрешностей

; h₁₁,…, h_1m, (2.33a)

а результаты сравнения y₁,…,y_0m имеют составляющие

h₀. (2.33б)

Для поочередных сравнений записывается m уравнений:

,
…………..……………………………………………….. (2.34)

.

После суммирования соответственно левых и правых частей и деления на m получается

+ , (2.35)

откуда

, (2.36)

а также

(2.37)

и

. (2.38)

В результате сравнения с разными эталонами доля систематической погрешности первичного эталона h₁ уменьшается в раз. Вследствие m‑кратной реализации случайной погрешности ее значение также уменьшается -кратно.

2.2.5. Вторичный элемент, имеющий m-кратную меру[7]

Пусть первичные эталоны имеют меру

,(2.39)

а также метрологические качества, характеризуемые погрешностью

(2.40)

составляющие которой означают то же, что и в (2.2). Метрологические качества эталона определяет уравнение (2.8б), а компаратора — (2.12).

Из сравнения

(2.41)

следует, что

. (2.42)

Номинальная мера вторичного эталона равна

. (2.43)

Неизвестная по величине систематическая погрешность описывается выражением

. (2.44)

а случайная погрешность — выражением . Если первичные эталоны одного и того же типа и выполняется условие

; для 1,…, m, (2.45)

т. е. погрешности принадлежат к той же совокупности, а также

, (2.46)

то

(2.47)

и

, (2.48)

где .

Приведенные выше результаты можно интерпретировать следующим образом: если относительные погрешности первичных и вторичного эталонов близки, т. е. абсолютные погрешности разнятся m-кратно (2.46), то ожидаемое значение систематической погрешности вторичного эталона равно сумме ожидаемых значений погрешностей первичных эталонов (2.47). Весьма благоприятен случай . Дисперсия же погрешности первичных эталонов (по природе систематической, но малозначимой), перенесенной на вторичный эталон, уменьшается m-кратно (первый член в правой части формулы (2.48)). Если, например, предельная недостоверность m первичных эталонов (m =10) составляет 0,01%, то она составляет 0,01/ = 0,003% в недостоверности вторичного эталона, т. е. возникает эффект получения более высокой, чем для первичных, точности вторичного эталона. Этот эффект получается при , а это условие очень трудно выполнить. В других случаях эффект меньше, как это иллюстрирует рис. 2.3.

2.2.6. Вторичный эталон, имеющий 1/m-кратную меру

Мера вторичных эталонов выражается соотношением

. (2.49)

Процедура сравнения здесь гораздо сложнее, так как надо определить: 1) m номинальных значений мер вторичных эталонов и 2) m оценок недостоверности меры, 3) как минимум, необходимо выполнить m независимых сравнений, чтобы получить m независимых уравнений для расчета. С позиций условия (2.49) необходимо сравнение, описываемое уравнением измерения

, (2.50)

а также m–1 других сравнений. На рис. 2.4 представлены примерные схемы сравнения.

Рис. 2.4. Схемы сравнения для определения меры mвторичных эталонов: a– относительно первого эталона; б – поочередное сравнение эталонов; в – комбинация сравнений

Для схемы рис. 2.4,а, по которой каждый из вторичных эталонов сравнивается со вторичным эталоном под номером j=1, составляется система уравнений

(2.51)

для j = 2, 3, ..., m.

Во избежание излишних математических преобразований для различения отдельных реализаций случайных погрешностей эталона w₂₁ вводится индекс i (i =1,..., m), означающий номер сравнения. Сравнение i =1 по уравнению (2.50) можно описать следующим образом:

; (2.52)

m–1 уравнений, описывающих сравнения j =2,3,..., m, получаются из (2.51) в виде

.(2.53)

После подстановки m–1 уравнений типа (2.53), разрешенных относительно , в (2.52) получается

. (2.54)

С учетом принятых свойств систематической погрешности получаем , , а также для i = 2,3,...,m имеем , . Два последних члена в левой части сокращаются. Номинальная мера эталона w₂₁ определяется выражением

,

(2.55)

а истинное значение — выражением

. (2.56)

В формуле (2.55) учтено, что в первом измерении сравниваются значения , а в остальных измерениях — значения , в m раз меньшие, для которых качества компаратора иные: h₀₁ и h₀, g₀₁и g₀. Систематическая погрешность h₂₁получается после вычитания из уравнения (2.54) истинного значения (2.56):

. (2.57)

Ожидаемое значение систематической погрешности описывается выражением

, (2.58)

а дисперсия — выражением

. (2.59)

Параметры эталонов w₂₂, w₂₃, ..., w_2mвычисляются по уравнению (2.53) так же, как в разд. 2.2.2, поскольку выступающие там свойства эталона w₂₁ уже определены ранее.

Для j = 2, 3,...,m имеем

(2.60)

и

. (2.61)

Отсюда

(2.62а)

и

var(h_2j)=var(h₂₁)+var(h₀)+2g₂²+g₀², (2.62б)

где и var(h₂₁) выражаются соответственно формулами (2.58) и (2.59). Кроме того,

. (2.63)

Примененная схема сравнений позволяет улучшить качество вторичного эталона w₂₁, так как неточность этого эталона становится меньше на значение случайной погрешности сравниваемых вторичных эталонов и компаратора при одноразовом сравнении.

Анализ уравнения (2.59) показывает, что в неточности вторичного эталона большую долю занимают случайные погрешности, возникающие при каждом сравнении. Поэтому вторичным эталоном № 1 должен быть эталон с наименьшим значением g₂. Многократное выполнение сравнений по той же самой схеме уменьшает долю случайных погрешностей в пропорции, которую можно определить из числа сравнений.

Для определения меры вторичного эталона можно использовать также схемы сравнения, приведенные на рис. 2.4,б,в. Если схема содержит n>m сравнений произвольной структуры, повышается точность определения меры вторичных эталонов и их погрешностей.

С рассмотренной задачей связано сравнение эталонов группы между собой. Известно, что такое внутригрупповое сравнение не позволяет оценить изменение меры группового эталона, но позволяет дать оценку изменению меры отдельного эталона относительно групповой меры. Такой информации достаточно для контроля элементов группового эталона и исключения тех элементов, мера которых отклоняется от средней. На практике предпочитают схему, по которой все элементы сравниваются друг с другом. Такая схема позволяет получить симметричные и легко вычисляемые результаты.

Схема иерархии эталонов

Из представленных способов переноса меры первичного эталона на вторичный следует, что можно, исходя из одного эталона, создать систему эталонов с различными значениями и неточностями установленной меры, соответствующими способам ее определения. Примерная схема системы эталонов одной величины, для которой применен способ разделения и объединения, рассмотренный в разд. 2.2.5 и 2.2.6, представлена на рис. 2.5. Это упрощенная схема; например, на каждом уровне иерархии показано по одному эталону, тогда как государственный эталон состоит из нескольких экземпляров эталонов: а) основной эталон; б) эталон сравнения; в) эталон-свидетель; г) эталон соотнесения (рабочий). Кроме того, в ней не учтены физические ограничения, другие способы сравнения и т. п. Такую структуру системы эталонов имеют величины, аддитивные по природе.

Рис. 2.5.Примерная схема иерархии эталонов

Вторую группу составляют величины со сложной структурой системы эталонов. Например, температура, соответствующая МПТШ[8], имеет несколько отдельных состояний сравнения в качестве констант, а для воспроизведения используются непре­рывные эталоны: базовый платиновый термометр, РТ—Rh—РТ-термоэлемент, а также явление теплового излучения.

К третьей группе относятся некоторые производные величины. Система эталонов базируется на эталоне данной величины и на аддитивной структуре эталонов низшего порядка, а также на эталонах, мера которых устанавливается косвенным методом в соответствии с определением этой величины. На данном уровне иерархии существуют по крайней мере два пути определения меры эталона. Например, меру объема можно определить путем сравнения с эталоном высшего порядка либо оценить косвенно, используя эталоны длины. Такой же характер имеют эталоны давления, расчетный эталон емкости и т. д. При реализации выбранных состояний сравнения появляются различные физические и технические ограничения.

Разработка реальной иерархической структуры эталонов представляет собой сложную задачу ввиду трудности формулирования критерия оптимизации. Чаще всего ставится вопрос о соотношении мер неточности эталонов на соседних уровнях иерархии, а также связанный с этим вопрос о числе ступеней иерархии. На первый вопрос можно ответить с помощью выведенных выше формул, если известно соотношение систематической и случайной погрешностей. Например, для соотношения этих погрешностей 1:1, а также для пренебрежимо малых погрешностей компаратора из уравнения (2.32) следует, что отношение дисперсий

(2.64)

изменяется от 2 (для n = l) до 1 (для ), если g₁=g₂.

В ином понимании погрешностей, зная частное от деления погрешностей, а также требования к точности рабочих средств измерения, можно определить число уровней иерархии. На основе установленной заранее допустимой меры риска можно также найти требуемое число уровней иерархии эталонов. Более конкретная задача может включать учет стоимости калибровки.

Сохранение единства мер и соответствия их международным соглашениям относится к государственным задачам и реализуется государственной администрацией и соответствующими учреждениями. Государственная служба мер хранит государственные эталоны, устанавливает систему эталонов, проводит сравнения и аттестации эталонов и т. д.

По мере необходимости потребитель, выполняющий измерения, подвергает измерительную аппаратуру аттестации или контролю по эталонам, входящим в государственную систему эталонов, и осуществляет, таким образом, привязку аппаратуры к международной системе эталонов.

Образцы материалов

Подобие характеристик

Формулирование образов действительности охватывает качественные и количественные явления. Качественный образ материи характеризуется следующими категориями: 1) частицы и кванты, из которых состоят атомные ядра и атомы; 2) соединения химических элементов; 3) различные смеси химических элементов и соединений; 4) органические вещества и биологические организмы; 5) макроскопические объекты; 6) явления взаимодействий материи в состоянии покоя или движения; 7) виды энергии и энергетических превращений; 8) явления, связанные с воздействием энергии на материю; 9) различные свойства материи и энергии, определяемые посредством физических величин.

Некоторые из качественных категорий легко различимы, другие различить трудно. Мерой различия качественных категорий является число физических свойств и состояний, в которых эти свойства могут находиться. Эти свойства, разумеется, должны быть наблюдаемы и измеримы. Качественным категориям, существующим в реальности, соответствуют образы в сфере абстракции, выраженные посредством названий и символов. Эти образы представляют собой взаимно-однозначное отображение действительности. Следовательно, данная качественная категория описывается числом N характеристик Q₁,…,Q_Nи числом N множеств состояний {q₁},…,{q_N}которые приобретают эти характеристики. По мере познания действительности число N увеличивается. Две категории A и В

A=A(Q₁,…,Q_i,…,Q_N,q₁,…,q_N), (2.65а)

B=B(Q₁,…,Q_j,…,Q_M,q₁,…,q_M) (2.65б)

различимы, если по крайней мере для одной из их совпадающих характеристик Q_iA= Q_jB среди i =1, ..., N; j=1, ..., М множества состояний раздельны, т.е. пересечение соответствующих множеств равно пустому множеству:

; . (2.66)

Условие (2.66) может выполняться для большего числа характеристик, и тогда категории различаются проще. По понятным практическим соображениям для различения качественных категорий используются те характеристики, удовлетворяющие условию (2.66), которые проще наблюдать и измерять.

В своей целенаправленной трудовой деятельности человек испытывает потребность в эталонах значительного числа качественных категорий для оценки качества материалов и изделий для рутинных и исследовательских операций. Эталонами, например материалов, служат соответствующим образом приготовленные образцы материалов. Из-за физико-химического воздействия среды, а также ввиду процессов старения, эти образцы имеют ограниченное постоянство; кроме того, часто измерение качественных характеристик вызывает износ образца. Следовательно, существует потребность производства образцов материалов для обновления состояния и восполнения изношенных образцов.