О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр

Напомним, что ОС МС получается из заданной СНС удалением лишних связей и их заменой неизвестными реакциями. Выясним, насколько мы свободны в выборе ОС, и как оценить качество нашего выбора.

Отметим, прежде всего, следующие моменты.

1. ОС выбирается не единственным способом, и более того, ее можно выбрать бесчисленным множеством способов. Так, для рамы на рис. 4.4, а в качестве ОС помимо уже рассмотренной на рис. 4.4, б могут быть выбраны системы, приведенные на рис. 4.4, в–д.

2. Главным и безусловным требованием, предъявляемым к ОС, является требование ее неподвижности, то есть в качестве ОС нельзя выбрать геометрически изменяемую систему (рис. 4.4, е) или мгновенно изменяемые системы (рис. 4.4, ж, з).

3. Надо стремиться к выбору рациональной основной системы, чтобы соответствующая ей система канонических уравнений:

d₁₁ X₁ + d₁₂ X₂ + d₁₃ X₃ + D_1p⁰ = 0 ;

d₂₁ X₁ + d₂₂ X₂ + d₂₃ X₃ + D_2p⁰ = 0 ; (4.3¢)

d₃₁ X₁ + d₃₂ X₂ + d₃₃ X₃ + D_3p⁰ = 0 ,

имела как можно более простую структуру.

Для рамы на рис. 4.4, а такой будет ОС, приведенная на рис. 4.4, в. Нетрудно убедиться, что для нее d₁₂ = d₂₁ = 0, d₂₃ = d₃₂ = 0 и система трех линейных алгебраических уравнений (4.3) распадается на систему двух уравнений для определения X₁ и X₃ и одно независимое от них уравнение для определения X₂:

d₁₁ X₁ + d₁₃ X₃ + D_1p⁰ = 0;

d₂₂ X₂ + D_2p⁰ = 0;

d₃₁ X₁ + d₃₃ X₃ + D_3p⁰ = 0.

Чтобы выяснить, почему данная ОС оказалась удобнее остальных и почему для нее d₁₂ = d₂₃ = 0 , введем понятие ортогональности функций или ортогональности эпюр.

Термин «ортогональность» является обобщением понятия «перпендикулярность» и в отношении двух векторов a и b из трехмерного пространства означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(a×b) = ½a½×½ b½ cos (a,b) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = = 0.

Аналогично, ортогональность двух векторов a и b из n-мерного пространства означает равенство нулю суммы произведений их одноименных компонент:

(a×b) = = 0. (4.8)

Определение. Две функции f(x) и g(x) ортогональны на промежутке [0,l], если выполняется соотношение:

f(x) × g(x) dx = 0. (4.9)

Классическим примером функций, ортогональных на промежутке [0,p], являютсяфункции sin x и cos x .

Понятие ортогональности функций является естественным обобщением ортогональности векторов в n-мерном пространстве.

В самом деле, разбивая промежуток [0,l] на n частей длиной Dx = l/n узловыми точками x_i = i(Dx), где i = 0,1, … , (n – 1) и, переходя в (4.9) к численному интегрированию, получим:

f(x) × g(x) dx = f (x_i) g (x_i) Dx.

Полагая в (4.8) a_i = f (x_i), b_i = g (x_i) Dx и переходя к пределу при Dx ® 0, а n ® ¥, мы и придем к (4.9).

Наконец, подставляя в (4.9) f(x) = `M<sub>i</sub><sup>0</sup> и g(x) = `M_j⁰/EJ или g(x) =`M_p⁰/EJ и обобщая на случай n участков рамы, мы получим условие ортогональности этих эпюр в виде:

d_ij = (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_j⁰) = Sò (`M<sub>i</sub><sup>0</sup>×`M_j⁰ /EJ)ds = 0, (4.10)

D_ip⁰= (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´ M<sub>p</sub><sup>0</sup>)= Sò (`M_i⁰× M_p⁰/EJ)ds = 0. (4.11)

Из последних выражений можно получить признаки ортогональности эпюр.

1. Две эпюры с взаимно нулевыми участками ортогональны. Примером служат эпюры `M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₂⁰ на рис. 4.7, в, и 4.7, г, соответствующие выбранной на рис. 4.7, б основной системе, для которой d₁₂ = 0.

2. Две эпюры ортогональны, если центр тяжести нелинейной эпюры лежит против нулевой точки линейной.

В качестве примера вернемся к раме на рис. 4.5, а - (рис. 4.8, а). Выберем вместо прежней ОС, показанной на рис. 4.5, б, новую ОС, в которой реакция X₂

не перпендикулярна к X₁, а направлена к ней под углом a (рис. 4.8, б). На стойке рамы центр тяжести эпюры`M<sub>1</sub><sup>0</sup> (рис. 4.8, в) расположен против точки, где ордината эпюры`M₂⁰ равна нулю (рис. 4.8, г), поэтому по правилу Верещагина на этом участке их произведение равно нулю. На ригеле наоборот – эпюре`M<sub>2</sub><sup>0</sup> соответствует нулевой участок эпюры`M₁⁰, поэтому в целом для выбранной основной системы d₁₂ = 0.

Рис. 4.7

Рис. 4.8

3) Симметричная и обратносимметричная эпюры ортогональны. Для рамы на рис. 4.9, а при симметричной ОС (рис. 4.9, б) эпюра `M<sub>1</sub><sup>0</sup> симметрична, а `M₂⁰ – обратносимметрична (рис. 4.9, г). При этом на левой половине рамы произведение эпюр`M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₂⁰ положительно, а на правой – равно по модулю тому же значению, но отрицательно, откуда и следует, что d₁₂ = 0.

Аналогично у рамы на рис. 4.4, а для ОС на рис. 4.4, в будут симметричными`M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₃⁰, а обратносимметричной –`M₂⁰, поэтому d₁₂ = d₂₃ = 0.

Рис. 4.9

Примечания

1. Напомним, что обратносимметричная (в литературе также встречается термин кососимметричная) эпюра получается из симметричной, если сменить на противоположный знак для части эпюры, расположенной по одну сторону от оси симметрии.

Очевидно, что понятия «симметричная» и «обратносимметричная» эпюры являются обобщением понятий четной и нечетной функций в математике. Для первых f (x) = f (–x), для вторых f (x) = – f (–x).

2. О симметричных и обратносимметричных эпюрах можно говорить лишь в отношении систем, обладающих свойством симметрии. При этом симметричными должны быть не только геометрические очертания, но и жесткости элементов конструкции.

3. Для системы с одной лишней связью вопрос о рациональном выборе основной системы, с учетом примечания 2 из предыдущего параграфа, целиком определяется видом эпюры M_p⁰.