Задания и методические указания
К.В. Подмастерьев,
Е.В. Пахолкин,
В.В. Мишин
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
По выполнению расчетно-графических
И курсовых работ
По метрологическим дисциплинам
Орел 2003
Авторы: заведующий кафедрой ПМиС, доктор технических наук, профессорК.В. Подмастерьев
доцент кафедры ПМиС, кандидат технических наук Е.В. Пахолкин
доцент кафедры ПМиС, кандидат технических наукВ.В. Мишин
Рецензент: доцент кафедры ПМиС,кандидат технических наук, доцент З.П. Лисовская
Методические указания по выполнению расчетно-графических и курсовых работ по метрологическим дисциплинам содержат задания по обработке экспериментальных данных при выполнении однократных и многократных измерений, нескольких серий измерений, при функциональных преобразованиях результатов измерений и исследовании физических зависимостей.
В настоящих методических указаниях представлены индивидуальные задания пяти видов (по 100 вариантов).
Редактор Т.Д Васильева
Технический редактор <инициалы, фамилия>
Подписано к печати <дата>. Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Уч.-изд.л. 2,3. Усл. печ. л. _____.. Тираж 100 экз.
Заказ № <число>
Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ОрелГТУ,
302020, г. Орел, ул. Московская, 65.
Ó ОрелГТУ, 2003
Ó Подмастерьев К.В.,
Пахолкин Е.В.,
Мишин В.В., 2003
Содержание
1 Общие положения | |
1.1 Содержание расчетно-графической работы | |
1.2 Оформление работы | |
2 Задания и методические указания | |
2.1 Задание 1. Однократное измерение | |
2.1.1 Условие задания | |
2.1.2 Указания по выполнению | |
2.1.3 Порядок расчета | |
2.2 Задание 2. Многократное измерение | |
2.2.1 Условие задания | |
2.2.2 Указания по выполнению | |
2.2.3 Порядок расчета | |
2.3 Задание3. Обработка результатов нескольких серий измерений | |
2.3.1 Условие задания | |
2.3.2 Указания по выполнению | |
2.3.3 Порядок расчета | |
2.4 Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения) | |
2.4.1 Условие задания | |
2.4.2 Указания по выполнению | |
2.4.3 Порядок расчета | |
2.5 Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей | |
2.5.1 Условие задания | |
2.5.2 Указания по выполнению | |
2.5.3 Порядок расчета | |
Список использованных источников | |
Приложение А | |
Приложение Б | |
Приложение В | |
Приложение Г | |
Приложение Д | |
Приложение Е | |
Приложение Ж | |
Приложение И |
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Содержание расчетно-графической работы
Согласно государственным образовательным стандартам циклы общепрофессиональных дисциплин практически по любой специальности включают одну из метрологических дисциплин. Например, по специальности 190100 изучается дисциплина «Метрология, стандартизация, сертификация», по специальностям 220500 и 200800 – «Метрология, стандартизация и технические измерения». При этом рабочие планы для различных специальностей предполагают выполнение расчетно-графических или курсовых работ. Наряду со специфическими задачами изучения метрологической дисциплины для каждой специальности есть общие цели и задачи для всех специальностей.
Одной из основных задач изучения метрологических дисциплин в вузе является освоение методов получения достоверной измерительной информации и правильного ее использования, а также приобретение практических навыков обработки данных при выполнении различных видов измерений.
Решению указанной задачи и служат задания, изложенные в данных методических указаниях. При выполнении работы студент углубляет теоретические знания и получает практические навыки в области обработки экспериментальных данных при выполнении однократных и многократных измерений, нескольких серий измерений, при функциональных преобразованиях результатов измерений и исследовании физических зависимостей.
В настоящих методических указаниях представлены индивидуальные задания пяти видов (по сто вариантов):
– задание 1. Однократное измерение;
– задание 2. Многократное измерение;
– задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений;
– задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений;
– задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей.
В зависимости от изучаемой дисциплины и планируемого объема работа может включать лишь некоторые из представленных пяти заданий.
Оформление работы
Расчетно-графические и курсовые работы оформляются на листах стандартного формата А4 (297x210 мм). Форма титульного листа представлена в приложении А.
Работа должна включать по каждому заданию: условие задачи; экспериментальные данные; априорную информацию; выбранный алгоритм обработки с соответствующими пояснениями и промежуточные результаты обработки экспериментальных данных; полученный результат измерений; необходимые графики и диаграммы, поясняющие решение задач.
В конце работы необходимо представить список использованных источников.
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Задание 1. Однократное измерение
2.1.1 Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Указания по выполнению
1. Исходные данные студент выбирает из таблицы 1 по предпоследней и последней цифрам шифра; например шифру 96836 соответствует априорная информация, определяемая на пересечении строки 3 столбца 6.
2. Априорная информация в таблице 1 представлена в двух вариантах. В первом варианте даются сведения о классе точности средства измерений: пределы измерений, класс точности, значение аддитивной (qа) или мультипликативной (qм) поправки. Например, данные: -50...50; 1,5; qа = 0,5, – означают, что средство измерения имеет диапазон измерений от -50 до 50, класс точности 1,5, а значение аддитивной поправки равняется 0,5.
Во втором варианте в качестве априорной информации даются сведения о видах и характеристиках распределения вероятности результата измерения: вид закона распределения, значение оценки среднего квадратического отклонения (Sx), доверительная вероятность Р (для нормального закона распределения) и значение аддитивной (qа) или мультипликативной (qм) поправки. Например, данные: норм.; Sx =0,5; Р = 0,95; qм = 1,1 – означают, что закон распределения вероятности результата измерения нормальный, со значением оценки среднеквадратического отклонения 0,5. При этом имеет место мультипликативная поправка (поправочный множитель) 1,1, а доверительный интервал следует рассчитывать с доверительной вероятностью 0,95.
Порядок расчета
Результат измерения при однократном измерении определяется по алгоритму, представленному на рисунке 34 в источнике [1].
Обработка экспериментальных данных зависит от вида используемой априорной информации. Если это информация о классе точности, то пределы, в которых находится значение измеряемой величины без учета поправки, определяются следующим образом:
Q1 = X – DХ; Q2 = X + DХ,
где DХ - предел допускаемой абсолютной погрешности средства измерения при его показании X. Значение DХ определяется в зависимости от класса точности и способа его задания по ГОСТ 8.401-80.
Если в качестве априорной используется информация о законе распределения вероятности, то пределы определяются через доверительный интервал:
Q1 = X – E; Q2 = X + Е.
Значение Е определяется в зависимости от вида закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
Е = t∙Sx,
где t для заданной доверительной вероятности Р выбирается из таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (например, табл. 1.1.2.6.2 [2], при этом следует учитывать, что Р = 2Ф(t)). Таблица распределения также приведена в приложении Б.
Для равномерного закона распределения вероятности результата измерения значение Е (аналог доверительного интервала) можно определить из выражения
Е = a∙Sx,
где .
При представлении результата измерения необходимо внести поправки и уточнить пределы, в которых находится значение измеряемой величины.
При вычислении следует руководствоваться правилами округления, согласно которым значения среднеквадратических отклонений указываются в окончательном ответе двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, если первая равна 3 или более. Все предварительные расчеты выполняются не менее чем с одним или двумя лишними знаками.
В качестве справочных данных могут использоваться аналогичные таблицы из других литературных источников.
Таблица 1 – Исходные данные | ||||||||||
Предпоследняя цифра щифра | Последняя цифра шифра | |||||||||
0…100 1,0 Qa = 1 | -50…+50 0,02/0,01 Qa = -2 | 0…50 1,0 Qм = 1.1 | 0…50 4,0 Qм = 0.9 | -30…+30 1,5 Qм = 1.2 | 0…50 0,2/0,1 Qа = -0.5 | 0…100 4,0 Qа = 0 | -50…+50 2,5 Qа = 0 | 0…30 6,0 Qа = 1 | -10…+10 1,0 Qм = 1,1 | |
норм. Sx = 0,1 P = 0,9 Qa = 1 | норм. Sx = 0,5 P = 0,95 Qa = 1,3 | норм. Sx = 1 P = 0,9 Qa = -1 | норм. Sx = 0,6 P = 0,98 Qa = 0,5 | норм. Sx = 0,3 P = 0,9 Qa = 0 | норм. Sx = 0,1 Qa = -1,0 | норм. Sx = 0,3 Qa = 1,1 | норм. Sx = 0,5 P = 0,8 Qa = 0 | норм. Sx = 0,6 Qa = 1,0 | норм. Sx = 0,2 P = 0,8 Qa = -0,8 | |
-30…+50 2,5 Qa = 1 | -50…+30 2,5 Qa = 1 | 0…150 1,0 Qм = 1,1 | -20…+20 1,5 Qм = 0,9 | 0…50 2,5 Qa = 0 | -10…+20 4,0 Qa = 0,1 | 0…30 4,0 Qм = 1,2 | 0…50 0,03/0,01 Qa = 0 | 0…10 0,02/0,01 Qa = 1,0 | 0…30 1,0 Qa = 1,1 | |
норм. Sx = 0,2 P = 0,99 Qa = 0 | норм. Sx = 0,3 P = 0,8 Qм = 1,0 | норм. Sx = 0,4 P = 0,95 Qa = 0,8 | равн. Sx = 0,4 Qa = 1,0 | равн. Sx = 0,8 Qм = 0,9 | равн. Sx = 0,6 Qa = 1,0 | норм. Sx = 0,6 P = 0,8 Qa = 0,5 | норм. Sx = 0,7 P = 0,9 Qa = -0,5 | равн. Sx = 0,5 Qa = 0,6 | равн. Sx = 0,6 Qм = 1,2 | |
0…100 6,0 Qa = 1,0 | -50…+50 1,5 Qм = 0,9 | 0…30 4,0 Qa = -1,0 | -20…+20 1,0 Qa = 0 | -30…+30 0,04/0,02 Qa = 1,0 | 0…50 4,0 Qa = 0,5 | -100…100 0,1 Qa = 0,2 | 1…100 0,2 Qa = 0 | 0…30 0,5 Qa = 0,9 | 0…50 0,25 Qa = 0,1 | |
0…100 4,0 Qa = -0,5 | 0…50 0,4 Qa = -0,2 | -10…+10 0,5 Qa = -1,0 | -30…+50 0,25 Qм = 0,9 | -100…100 0,1 Qa = 0,5 | 0…10 1,0 Qa = 0,2 | 0…50 0,1/0,2 Qм = 1,1 | 0…100 0,2/0,1 Qм = 1,1 | 0…50 6,0 Qa = 0,5 | -20…+20 0,3/0,2 Q = 0 | |
норм. Sx = 0,5 P = 0,9 Qa = 0,3 | норм. Sx = 0,2 P = 0,95 Qм = 1,1 | норм. Sx = 0,4 P = 0,9 Qм = 1,1 | норм. Sx = 0,6 P = 0,8 Qa = -1,0 | равн. Sx = 0,1 Qa = 0,3 | равн. Sx = 0,2 Qa = -0,1 | равн. Sx = 0,4 Qм = 0,8 | равн. Sx = 0,3 Qa = -0,5 | норм. Sx = 0,1 P = 0,9 Qм = 0,95 | норм. Sx = 0,4 P = 0,95 Qa = -0,1 | |
0…15 0,02/0,01 Qa = 1,1 | 0…20 0,1 Qм= 1,01 | -20…+30 0,25 Qa = -0,1 | -30…+20 0,25 Qa = -0,1 | 0…80 0,05 Qa = -0,1 | 0…100 0,1 Qм= 0,9 | 0…50 6,0 Qм= 1,2 | -10…20 4,0 Qм= 0,9 | -20…+20 1,0 Qм= 1,0 | -25…+25 1,5 Qa = -0,5 | |
0…50 0,02/0,01 Qм = 1,1 | 0…10 0,1 Qa = 0,1 | -10…20 0,25 Qм = 0,9 | -50…+50 1,5 Qa = 0,1 | 0…50 1,6 Qм = 0,01 | 0…20 1,5 Qм = 1 | 0…50 2,0 Qa = 1 | -10…+10 0,01/0,02 Qм = 1,1 | 0…15 0,5 Qa = 0,1 | 0…10 0,1 Qa = 0,2 | |
норм. Sx = 0,5 P = 0,9 Qa = 0,1 | норм. Sx = 0,9 P = 0,9 Qa = 0,9 | норм. Sx = 1,5 P = 0,8 Qм = 1,1 | норм. Sx = 0,9 P = 0,8 Qa = 0 | равн. Sx = 0,5 Qa = 1,0 | равн. Sx = 0,8 Qa = 0,8 | норм. Sx = 0,85 P = 0,95 Qa = 0,1 | норм. Sx = 0,9 P = 0,99 Qa = 0 | норм. Sx = 0,1 P = 0,95 Qм = 1,1 | норм. Sx = 0,2 P = 0,9 Qa = 0,2 |
Задание 2. Многократное измерение
2.2.1 Условие задания
При многократном измерении одной и той жефизической величины получена серия из 24 результатов измерений Qi; i Î [1...24]. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат измерения.
Таблица 2 – Исходные данные
Предпоследняя цифра шифра | Последняя цифра шифра | ||||||||||
482 495 | |||||||||||
492 484 | |||||||||||
483 494 | |||||||||||
492 486 | |||||||||||
481 494 | |||||||||||
495 484 | |||||||||||
485 492 | |||||||||||
492 483 | |||||||||||
482 493 | |||||||||||
493 480 | |||||||||||
Указания по выполнению
1. Серию экспериментальных данных студент выбирает из таблицы 2 по предпоследней и последней цифрам шифра. Например, шифру 96836 соответствует серия, включающая все результаты измерений, которые приведены в строке 3 и столбце 6.
2. Результат измерения следует получить с доверительной вероятностью 0,95.
Порядок расчета
Результат многократного измерения находится по алгоритму, представленному на рисунке 40 [1]. При этом необходимо учитывать, что n = 24, следовательно, порядок расчетов и их содержание определяются условием 10…15 < n < 40…50.
1. Определить точечные оценки результата измерения: среднего арифметического и среднего квадратического отклонения SQ результата измерения.
2. Обнаружить и исключить ошибки. Для этого необходимо:
– вычислить наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение
;
– задаться доверительной вероятностью Р и из соответствующих таблиц (таблица П.6 [3] или из таблица В.1) с учетом q = 1 – Р найти соответствующее ей теоретическое (табличное) значение νq;
– сравнить ν с νq.
Если ν > νq, то данный результат измерения Qi является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого необходимо повторить вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений. Вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполняться условие ν < νq.
3. Проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
Проверка выполняется по составному критерию [3].
Применив критерий 1, следует:
– вычислить отношение
– задаться доверительной вероятностью P1 (рекомендуется принять P1 = 0,98) и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 по соответствующим таблицам (таблица П.7 [3] или таблица Г.1) определить квантили распределения d1-0,5ql ,и d0,5q1;
– сравнить d с d1-0,5ql и d0,5q1.
Если d1-0,5q1 < d < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.
Применив критерий 2, следует:
– задаться доверительной вероятностью Р2 (рекомендуется принять Р2 = 0,98) и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n определить по соответствующим таблицам (таблица П.8 [3] или таблица Г.2) значения m и Р*;
– для вероятности Р* из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (таблица 1.1.2.6.2 [2] или таблица Б.1) определить значение t и рассчитать Е = t∙SQ.
Если не более m разностей | i - | превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью Р0 ³ (Р1 + Р2 – 1).
Если хотя бы один из критериев не соблюдается, то гипотезу о нормальности распределения отвергают.
4. Определить стандартное отклонение среднего арифметического.
Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяют как .
Если гипотеза о нормальности распределения отвергается, то
.
5. Определить доверительный интервал.
Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р определяется из распределения Стьюдента Е = t×S, где t выбирается из соответствующих таблиц (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1, при этом m = n – 1, а a = Р).
Если гипотеза о нормальности распределения отвергается, то t определяется из неравенства П. Л. Чебышева:
Р ³ 1 – 1/t2.
Задание3. Обработка результатов нескольких серий измерений
2.3.1 Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (nj) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Вычислить результат многократных измерений.
Указания по выполнению
1. Серии в таблице 2 студент выбирает по предпоследней и последней цифрам шифра: например, шифру 96836 соответствуют все результаты измерений, которые приведены в строке 3 (серия 1) и столбце 6 (серия 2).
2. Результат измерения следует получить с достоверностью 0,95.
Порядок расчета
Обработку результатов двух серий измерений целесообразно осуществлять по алгоритмам [1, с. 122-129] (последовательность расчетов и их содержание определяются условием 10...15 < n < 40...50).
1. Обработать экспериментальные данные в каждой j-й серии отдельно по алгоритму, изложенному в задании 2 (алгоритм обработки многократных измерений), при этом:
– определить оценки результата измерения Qj и среднего квадратического отклонения sqj;
– обнаружить и исключить ошибки;
– проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
2. Проверить значимость различия средних арифметических серий по алгоритму, представленному на рисунке 48 [1]. Для этого следует:
– вычислить моменты закона распределения разности:
G = 1 - 2,
;
– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (таблица 1.1.2.6.2 [2] или таблица Б.1) значение t;
– сравнить |G| с t × Sg.
Если |G| t · Sg, то различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимым.
3. Проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму, изложенному на рисунке 50 [1]. Для этого необходимо:
– определить значение ;
– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из соответствующих таблиц (таблица 16 [1] или таблица Е.1) значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера y0;
– сравнить y с y0.
Если y < y0, то серии с доверительной вероятностью Р считают рассеянными.
4. Обработать совместно результаты измерения обеих серий с учетом того, однородны серии или нет.
Если серии однородны (равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения следует объединить в единый массив и выполнить обработку по алгоритму на рисунке 40 [1]. Для этого необходимо:
– определить оценку результата измерения и среднего квадратического отклонения S:
;
;
– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из таблиц распределения Стьюдента (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1) значение t для числа степеней свободы ;
– определить доверительный интервал Е = t×S.
Если серии не равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических, то совместную обработку результатов измерений следует выполнять с учетом весовых коэффициентов по алгоритму, представленному на рисунке 51 [1].
Для этого необходимо:
– определить оценки результата измерения – и среднего квадратического отклонения S:
;
;
– аналогично предыдущему случаю, задавшись доверительной вероятностью Р, определить t и доверительный интервал.
Если различие средних арифметических в сериях признано значимым, то результаты измерений в каждой серии следует обработать раздельно по алгоритму многократных измерений:
– в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения в каждой серии определить Sj;
– задавшись доверительной вероятностью Р, определить по соответствующим таблицам значение tj;
– рассчитать доверительный интервал Еj =Sj × tj.
Задание 4. Функциональные преобразования результатов