Об аппроксимации начальных данных

В пояснениях к схеме «крест» приведена простейшая аппроксимация условия об аппроксимации начальных данных - student2.ru приводящая к погрешности об аппроксимации начальных данных - student2.ru , в то время как во внутренних узлах сетки погрешность аппроксимации для некоторых из рассматриваемых здесь схем является величиной второго порядка как по t, так и по h.

Можно без труда обеспечить второй порядок и при аппроксимации данного начального условия, так что соответствующая схема станет схемой второго порядка точности.

Представим значение решения в точках первого слоя по времени в виде ряда Тейлора по степеням t:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Замечаем, что из дифференциального уравнения следует

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Таким образом,

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Отсюда получаем расчетную формулу для данных на первом слое по времени:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Последнее соотношение, переписанное в виде

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

очевидно, аппроксимирует условие об аппроксимации начальных данных - student2.ru со вторым порядком точности.

О последовательности вычислений

Сначала из соотношений для начальных данных схемы «крест» находятся значения: об аппроксимации начальных данных - student2.ru (m = 0, …, M) и об аппроксимации начальных данных - student2.ru (m = 1, 2, …, M – 1). Недостающие компоненты сеточной функции на первом слое об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru определяются из условий на границах. Затем для p = 1, 2, …, P – 1 из соотношения (10.2) отыскиваются об аппроксимации начальных данных - student2.ru (m = 0, 1, …, M). Для неявных схем необходимо решать систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.

Сведение задачи (10.1) к задаче для системы двух уравнений первого порядка

Замечание. В этом пункте демонстрируется, как с помощью искусственного приема рассматриваемую задачу можно свести к другой — известной как задача для уравнений акустики. Последние — ничто иное, как уравнения переноса. Таким образом, этот раздел представляет собой связующее звено между данной лабораторной работой и работой «Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Уравнение переноса».

Задача (10.1) эквивалентна задаче:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

где функция, стоящая в правой части первого уравнения

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru (10.6)

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Обоснование

Введем в рассмотрение новую функцию об аппроксимации начальных данных - student2.ru связав ее с об аппроксимации начальных данных - student2.ru уравнением об аппроксимации начальных данных - student2.ru и полагая об аппроксимации начальных данных - student2.ru Тогда волновое уравнение можно записать в виде

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Интегрируем последнее соотношение по t, получаем:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

После выполнения интегрирования

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

т. е. об аппроксимации начальных данных - student2.ru где об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Таким образом, задача (10.1) сведена к задаче (10.6) для двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Дополнительные замечания

Легко проверить непосредственно, что дифференциальные уравнения (10.6) можно записать в виде:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

где об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru — инварианты Римана.

Особенность последних уравнений состоит в том, что в каждом из них дифференцируется лишь одна неизвестная функция (q или r). Отметим, что возможность записи исходной системы типа (10.6) в виде системы для инвариантов (функций, для которых уравнения разделяются так же, как и здесь) является признаком гиперболичности системы.

Очевидно, что рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача для инвариантов:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru (10.7)

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Уравнения для инвариантов, к которым мы перешли, являются известными уравнениями переноса (см. лабораторную работу «Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Уравнение переноса»). Последнее обстоятельство позволит распространить разностные схемы для уравнения переноса на наш случай.

Таким образом, вместо исходной задачи (10.1) можно решать задачу (10.6) или задачу (10.7) для инвариантов. В последнем случае исходная искомая функция u вычисляется через q и r в нужных точках по формуле об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Варианты разностных схем для задачи (10.6)

Предварительные замечания. Как известно, неявные схемы практически всегда устойчивы. Однако, применительно к задаче (10.6) использование их связано с определенными трудностями, так как расчет данных на очередном слое по времени требует решения линейной системы уравнений (более общего вида, нежели система с трехдиагональной матрицей). Поэтому в рамках данной работы мы сосредоточим внимание на способах построения более простых (с точки зрения реализации) явных разностных схем для задачи (10.6). С ними, однако, применительно к задаче (10.6) снова не все ясно. (Попробуйте по произвольному «явному» шаблону построить устойчивую схему!). Поэтому сначала разберемся как строятся подходящие явные схемы для задачи (10.7), сформулированной для инвариантов q и r.

Так как каждое из дифференциальных уравнений (10.7) есть уравнение переноса, то соответствующие явные схемы для последнего с некоторыми уточнениями, касающимися расчета в точках правой и левой границы, легко обобщаются на задачу (10.7).

СХИ1 — схема для инвариантов (первого порядка точности).Эта схема является естественным обобщением на случай системы для инвариантов схем типа «явный угол» для уравнения переноса. С учетом характеристических направлений (направлений переноса инвариантов) первое из уравнений (10.9) аппроксимируется по шаблону

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

шаблон для второго уравнения

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

p = 1, 2, …, P – 1; m = 0, 1, …, M – 1;

об аппроксимации начальных данных - student2.ru (10.8)

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M.

Аппроксимация краевых условий:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru p = 1, 2, …, P – 1. (10.9)

Начальные данные:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru m = 0, 1, …, M. (10.10)

Схема имеет первый порядок точности, устойчива при выполнении условия Куранта об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Последовательность вычислений для схемы СХИ1.Из соотношений (10.10) находятся q и r во всех точках начального слоя. Затем в рамках стандартного программного цикла для p = 0, 1, 2, …, P – 1 осуществляется расчет данных на (p + 1)-м слое по времени. При этом:

1) из соотношений (10.8) находятся об аппроксимации начальных данных - student2.ru для m = 0, …, M – 1 и об аппроксимации начальных данных - student2.ru для m = 1, 2, …, M;

2) из (10.9) с использованием найденных значений об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru отыскиваются об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru

СХИ2 — схема для инвариантов (второго порядка точности).В этой схеме используется шаблон

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Замечание. Данная схема является обобщением на случай системы (10.7) явной четырехточечной схемы второго порядка для уравнения переноса.

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.11)

Аппроксимация краевых условий:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru p = 1, 2, …, P – 1. (10.12)

Начальные данные:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru m = 0, 1, …, M. (10.13)

В отличие от схемы СХИ1 данная система соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замыкания данной схемы рассматривается ниже. При выбранном там способе замыкания схема имеет второй порядок точности и устойчива при выполнении условия Куранта: об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Дополнительные соотношения схемы СХИ2. Заметим, что дифференциальное уравнение для инварианта q — ничто иное, как характеристическое соотношение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

выполняющееся вдоль характеристик об аппроксимации начальных данных - student2.ru которые представляют собой семейство прямых об аппроксимации начальных данных - student2.ru

В частности, это характеристическое соотношение связывает значение q в точках левой границы со значениями q внутри расчетной области (на об аппроксимации начальных данных - student2.ru — характеристике, выпущенной из рассматриваемой точки левой границы). Поэтому логично для получения одного недостающего уравнения аппроксимировать с желаемым порядком точности дифференциальное уравнение для q из (10.7) в ячейках сетки, примыкающих к левой границе. Аналогичным образом второе дополнительное соотношение получается аппроксимацией уравнения для r из (10.7) по ячейке, примыкающей к правой границе.

Замечание. В схеме СХИ1 разностные уравнения для q при m = 0 и для r при m = M, можно рассматривать как аппроксимации первого порядка характеристических соотношений: для q вблизи левой границы и для r вблизи правой.

В этом случае разностные уравнения (10.11) аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения для инвариантов со вторым порядком точности. Поэтому желательно, чтобы необходимые замыкающие соотношения обеспечивали ту же точность.

об аппроксимации начальных данных - student2.ru Приведем соответствующий пример явной аппроксимации дифференциального уравнения для q вблизи левой границы.

На рис. 10 изображен фрагмент сеточной области вблизи левой границы об аппроксимации начальных данных - student2.ru Точка А является точкой пересечения об аппроксимации начальных данных - student2.ru — характеристики, выпущенной из узла B с координатами об аппроксимации начальных данных - student2.ru с предыдущим слоем по времени.

Интегрируя характеристическое соотношение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

по отрезку AB, получим

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Заменим интеграл, например, по формуле трапеций. Имеем:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Значение об аппроксимации начальных данных - student2.ru определим по известным значениям q в узлах p-го слоя по времени с помощью интерполяционной формулы:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

здесь d = at — расстояние точки A от левой границы.

Подставляя выражение для об аппроксимации начальных данных - student2.ru в предыдущую формулу, получаем одно из недостающих дополнительных соотношений:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Другое недостающее уравнение получим, аппроксимируя аналогичным образом характеристическое соотношение для инварианта r вблизи правой границы:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Расчет по схеме СХИ2. Из соотношений (10.13) находятся q и r во всех точках начального слоя. Затем в рамках стандартного программного цикла (для p = 0, 1, 2, …, P – 1) осуществляется расчет данных на об аппроксимации начальных данных - student2.ru -м слое по времени. При этом:

1) из уравнений (10.11) находится об аппроксимации начальных данных - student2.ru а также об аппроксимации начальных данных - student2.ru для m = 1, 2, …, M – 1;

2) из уравнений (10.12) с использованием найденных из дополнительных соотношений об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru отыскиваются об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Теперь рассмотрим примеры явных разностных схем непосредственно для задачи (10.6).

Схема СХ1. В этой схеме используется шаблон

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.14)

Аппроксимация краевых условий:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

p = 1, 2, …, P – 1. (10.15)

Начальные данные:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru m = 0, 1, …, M. (10.16)

Как и в случае схемы СХИ2 данная система соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замыкания данной схемы обсуждается ниже. При разумном способе замыкания схема имеет первый порядок точности и устойчива, если выполнено условие Куранта: об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Дополнительные соотношения для схемы СХ1.Недостающие для вычисления значений в точках левой и правой границы соотношения можно получить, аппроксимируя, например, дифференциальное уравнение для v по тому или иному шаблону вблизи левой и правой границ. Возможны следующие варианты.

A) При m = 0: шаблон «явный правый уголок», уравнение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

При m = M: шаблон «явный левый уголок», уравнение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Дополнительные соотношения:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru

B) При m = 0: шаблон «неявный левый уголок», уравнение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

При m = M: шаблон «явный правый уголок», уравнение

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Дополнительные соотношения:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Замечание 1. Возникают естественные вопросы: почему выбрано дифференциальное уравнение для об аппроксимации начальных данных - student2.ru при конструировании дополнительных соотношений? Почему выбраны те или иные шаблоны? Точного ответа на первый вопрос нет. Что касается шаблона, то тут руководствуемся тем, чтобы не ухудшить аппроксимацию и устойчивость схемы в целом. Вариант A), по-видимому, непригоден, так как аппроксимация уравнений (10.7) по таким шаблонам, вообще говоря, неустойчива.

Замечание 2. Данная схема является «близкой родственницей» схемы СХИ1 для инвариантов. В самом деле, уравнения группы (10.14) этой схемы являются линейной комбинацией (суммой и разностью) соответствующих уравнений схемы СХИ1. Тем самым проясняется вопрос о происхождении данной схемы.

Учитывая отмеченное обстоятельство, можно сделать вывод, что естественным способом замыкания данной схемы является привлечение в качестве дополнительных соотношений уравнений для q (при m = 0) и r (при m = M) из группы уравнений (10.14) схемы СХИ1. В этом случае, очевидно, рассматриваемая схема алгебраически эквивалентна схеме СХИ1 для инвариантов.

Схема СХ2.В этой схеме используется шаблон

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки представляют собой линейные комбинации (полусумму и полуразность) уравнений для q и rсхемы СХИ2 для инвариантов:

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.17)

Краевые условия (10.15) и начальные данные (10.16) записываются так же как в схеме СХ1.

Как и в случае схемы СХИ2 для инвариантов, данная система соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замыкания обсуждается ниже. При соответствующем способе замыкания схема имеет второй порядок точности и устойчива, если выполнено условие Куранта: об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Дополнительные соотношения для схемы СХ2.Недостающие для вычисления значений v в точках левой и правой границы соотношения можно получить, как и для схемы СХ1, аппроксимируя, например, дифференциальное уравнение для v по тому или иному шаблону вблизи левой и правой границ.

Способы, использованные для замыкания схемы СХ1, приводят к погрешности аппроксимации первого порядка, в то время, как уравнения для внутренних узлов данной схемы обеспечивают второй порядок аппроксимации.

В качестве подходящего способа получения дополнительных уравнений, не портящих второй порядок точности схемы в целом, применим аппроксимацию уравнения для v системы (10.6) вблизи левой и правой границы по прямоугольному шаблону.

При m = 0 имеем

об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Отсюда получаем дополнительную расчетную формулу, из которой находится об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Аналогичным образом, при m = M получаем еще одну недостающую формулу (для об аппроксимации начальных данных - student2.ru ).

Применительно к данной схеме справедливы замечания, сделанные при обсуждении способов замыкания схемы СХ1. Естественным способом представляется привлечение характеристических соотношений. В частности, если использовать в качестве дополнительных уравнений аппроксимацию характеристических соотношений вблизи границ со вторым порядком точности, то данная схема будет алгебраически эквивалентна СХ1.

Расчет по схемам СХ1 и СХ2. Из соотношений (10.16) находятся u и об аппроксимации начальных данных - student2.ru во всех точках начального слоя. Затем осуществляется расчет данных на (p + 1)-м слое по времени для значений p = 0, …, P – 1. При этом:

1) из уравнений (10.14) находятся величины об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru для m = 1, 2, …, M – 1;

2) из (10.15) с использованием дополнительных соотношений отыскиваются об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru и об аппроксимации начальных данных - student2.ru об аппроксимации начальных данных - student2.ru

Наши рекомендации