Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Острый угол между прямыми и определяется по формуле

.

Условие параллельности прямых имеет вид .

Условие перпендикулярности прямых имеет вид .

2.Расстояние от точки до прямой.Расстояние от точки М(х₀; у₀) до прямой находится по формуле

.

3. Пучок прямых. Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями и , то уравнение

,

где – числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении различные значения, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр которого есть точка пересечения прямых.

Решение типового задания.

Даны вершины треугольника А(1; 1), В(5; 4), С(2; 6). Найти:

1) длину стороны АС;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СН;

4) уравнение медианы АМ;

5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

Решение.

1) Найдем длину стороны АС.

2) Найдем уравнение стороны АВ, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: . Имеем: 3х – 4у + 1 = 0.

3) Уравнение высоты СН составим как уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку С(х₁; у₁):

.

Так как , то . Найдем угловой коэффициент прямой АВ из ее уравнения 3х – 4у + 1 = 0.

. Отсюда , а .

Уравнение высоты СН примет вид:

или .

4) Медиана АМ выходит из точки А(1; 1) и по свойствам медианы делит противолежащую сторону пополам, значит М – середина стороны ВС. Найдем координаты точки М по формулам середины отрезка ВС:

, М(3,5; 5).

Найдем уравнение медианы АМ, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: . Имеем: 4х – 2,5у – 1,5 = 0 или
8х – 5у – 3 = 0.

5) Чтобы найти точку N пересечения медианы АМ и высоты СН, необходимо решить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим точку .

Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки А до прямой ВС. Для этого составим уравнение прямой ВС, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: , получаем 2х + 3у – 22 = 0.

6) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ обозначим СК. Так как СК||АВ, то = = . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку С(х₁; у₁):

.

Получаем , тогда уравнение прямой СК имеет вид 4у – 3х – 18 = 0.

Задачи №31-60:

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны АС;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СН;

4) уравнение медианы АМ;

5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.