Визначення похідної. диференціювання функцій

1.1. Похідною функції називається границя відношення приросту цієї функції до відповідного приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля:

.

Якщо ця границя кінцева, то похідна існує, й функція називається диференційованою в точці . Похідна позначається також або . Операція відшукання похідної називається диференціюванням функції.

1.2. Правила диференціювання функцій. Нехай – стала, , – функції, що мають похідні.

1. ;
2. ;	;
3. ;	;	.
4. ;	;	.

5. Правило диференціювання складної функції. Якщо функція диференційована по , а функція – по , то складна функція має похідну чи .

1.3. Таблиця похідних функцій:

Похідні основних елементарних функцій	Похідні складних елементарних функцій,
1. .	1а. .
2. .	2а. .
3. .	3а.
4. .	4а. .
5. .	5а. .
6. .	6а. .
7. .	7а. .
8. .	8а. .
9. .	9а. .
10. .	10а. .
11. .	11а. .
12. .	12а. .
13. .	13а. .
14. .	14а. .
15. .	15а. .
16. .	16а. .
17. .	17а. .

1.4. Похідні вищих порядків. Похідною другого порядку (другою похідною) від функції називається похідна від її похідної, тобто

.

Другу похідну також позначають або . Похідна від похідної другого порядку називається похідною третього порядку і так далі. Похідну -го порядку позначають або .

1.5. Приклади. Використовуючи правила диференціювання й таблицю похідних, знайдемо похідні наступних функцій:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) .

Розв’язання

1) Перепишемо задану функцію, надавши доданки у вигляді степеня: . Тоді застосувавши формулу 2 п. 1.2 правил диференціювання, а також формулу 1а п. 1.3:

.

2) Записуємо задану функцію у вигляді степеня: та обчислюємо похідну, застосувавши формулу 1а п. 1.3:

.

3) Застосувавши формулу 3 п. 1.2 правил диференціювання, а також формулу 1 та формулу 14 п 1.3, знаходимо:

.

4) Диференціюючи функцію як складну, знаходимо похідну:

5) Відповідно до формули 4 п. 1.2 одержуємо:

.

6) За аналогією із прикладом 3 знаходимо:

7) Так як дана функція – показникова, то відповідно до формули 5а п.1.3:

1.6. Степенево-показникова функція. Виведемо формулу для похідної степенево-показникової функції , враховуючи, що та диференційовані функції та .

Логарифмуючи рівність і диференціюючи обидві частини отриманої рівності , знаходимо: . Отже, . Таким чином, одержуємо .

Наприклад, знайти похідну функції , де .

Прологарифмуємо задану функцію: . Використовуючи основні властивості логарифмів ( , , ), отримаємо: .

Продиференціюємо отриману неявну функцію: . Відповідно до формули 9а п.1.3 (для лівої частини) та до формули 3 п.1.2 (для правої частини), отримуємо: ; ; . Далі: . Підставивши задану спочатку функцію в останній вираз, отримаємо: .

Завдання 1. Знайти перші похідні функцій. У завданнях а) і б) додатково знайти другі похідні.