Коефіцієнт кореляції Спірмена

Для оцінки сили зв’язку між Х та Y у випадку, коли між Х та Y існує нелінійний зв’язок або вибіркові дані не розподілені за нормальним законом, слугує коефіцієнт кореляції Спірмена.

Коефіцієнт кореляції Спірмена розраховується за формулою:

, (3.5)

де п – кількість пар вибіркових даних;

– різність між рангами і-го значення Х та відповідного значення Y;

– поправки, що пов’язані з однаковими рангами; розраховуються за формулами:

; , (3.6)

де – кількість зв’язок (груп однакових рангів);

– розміри і-тих зв’язок (кількість елементів в них).

Зауваження 1. Ранги присвоюються вибірковим даним звичайним способом (див. п. 2.3.4).

Зауваження 2. Статистична значущість коефіцієнта кореляції Спірмена перевіряється так, як й коефіцієнта кореляції Пірсона.

ПРИКЛАД 3.3. Вивчається залежність між продуктивністю праці робітників Х (тис. грн.) та їх емоційним відношенням до своєї професійної діяльності Y (бали). Відповідні дані подано у таблиці 3.8. Оцінити силу зв’язку між досліджуваними факторами за коефіцієнтом кореляції Спірмена. Перевірити його статистичну значущість.

Таблиця 3.8

Х

Y

Розв’язок. Дані таблиці 3.8 є вибірковими парами значень , ; п – кількість пар, п=15. Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена, необхідні розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.9), використовуючи позначення: – ранг х_і, – ранг у_і.

Таблиця 3.9

хі
yі
			4,5				8,5	4,5							8,5
			2,5											2,5
і		-1	-2				2,5	0,5	-4		-4			0,5	5,5
і2							6,25	0,25						0,25	30,25

Пояснимо, як заповнюється рядок 3: знаходимо найменше зі значень х_і (це 26) та присвоюємо йому ранг 1; знаходимо наступне найменше (це 28) і присвоюємо йому ранг 2; наступним найменшим є 31, йому присвоюємо ранг 3; наступними найменшими є два значення 32, якщо б вони були різними, то їм би присвоїли ранги 4 і 5, але оскільки вони однакові, то присвоюємо їм середній ранг ; і т.д.

Знаходимо суму квадратів різностей рангів: =1+4+1+6,25+ +0,25+16+16+1+0,25+30,25=76.

Знаходимо поправки, що пов’язані з однаковими рангами. В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій теж два. Отже, , .

В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій три елемента. Отже, , .

Підставимо отримані дані в формули (3.6) і знайдемо поправки:

;

.

Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена за формулою (3.6):

.

За значенням коефіцієнта кореляції можна зробити висновок, що між Х та Y існує сильний додатній зв’язок.

Перевіримо статистичну значущість знайденого коефіцієнта кореляції. Розрахуємо t-статистику за формулою (3.4): . Знайдемо t_крит, враховуючи, що l=п-2=15-2=13. Оберемо рівень значущості =0,001. Тоді t_крит=СТЬЮДРАСПОБР (0,001; 13)=4,22.

Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичного , то коефіцієнт кореляції можна вважати значимим на обраному рівні =0,001.

Висновок. Між продуктивністю праці та емоційним відношенням працівника до професійної діяльності існує сильний додатній зв’язок. Висновок дійсний для всієї генеральної сукупності, з якої було зроблено вибірку.