Классическое и статистическое определение вероятности.

Кафедра прикладной информатики

Методические указания и задания к контрольной работе

по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»

направление подготовки 230700.62 «Прикладная информатика»

Профиль подготовки: Прикладная информатика в экономике

Прикладная информатика в дизайне

Заочной формы обучения

Составитель:

Н.Л. Александрова

Санкт-Петербург

УЧЕБНИКИ, УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ С ГРИФОМ МИНОБРАЗОВАНИЯ РФ

№№ п.п.	Наименование	Автор	Год издания	Издатель-ство	Объем (п.л. или а.л.)
1.	Теория вероятностей и математическая статистика	Гмурман В.Е.		М.: Высшая школа	479 c
2.	Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике	Гмурман В.Е.		М.: Высшая школа	400 с
	Теория вероятности и математическая статистика	Кремер Н.Ш.		Москва
	Вероятностные разделы математики	Максимов Ю. Д		Санкт-Петербург

Тема 1.

Классическое и статистическое определение вероятности.

При классическом определении вероятность события определяется равенством

где m- число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n- общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Относительная частотасобытия A определяется равенством

число испытаний, в которых A наступило, n- общее число произведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Пример (образец) 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар белым.

Решение.

Обозначим А событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число случаев n=5, число случаев благоприятных событию А, m=2. Следовательно,

Образец задачи в Mathcad

Пример 1

Для того, чтобы приняло m значение 2 надо нажать одновременно две клавиши shift и :

Для того, чтобы m разделить на n надо использовать / с панели calculator

Для того, чтобы получить результат надо нажать клавишу =

Задача 2.

Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появиться «герб».

Ответ: PA=0,75.

Задача 3.

Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

Ответ: WA=0,05.

Задача 4.

По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

Ответ: WA=0,9.

Задача 5.

При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было произведено 200 приборов.

Ответ: m=180.

Тема 2.

Соединения

Размещениями из n по m называются такие их соединения, которые различаются друг от друга самими элементами или их порядком. Например: размещения из 3 элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb ( ). Число всех размещений n различных элементов по m обозначается .

Перестановками из n элементов называют их соединения, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов. Например: перестановки из трех элементов a, b, c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Число всех перестановок из n обозначается :

Если среди n элементов a, b, c, … имеются одинаковые ( a повторяются раз, b - раз, c - раз и т. д.), то

.

Сочетаниями из n элементов по m отличающиеся друг от друга только самими элементами. Например: сочетания из трех элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc. Число всех сочетаний из n различных элементов по m (обозначается ):

, (0!=1).

Основное свойство сочетаний: .

Задача № 1.

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что угадано: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, числа которого различны.

Ответ: а) 0,011; б) 0,012.

Задача образец.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появиться шестерка.

Решение.

На грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, …, шесть очков. Аналогично шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым исходом бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 6*6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию ( хотя бы на одной грани появиться шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов ( первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков);

1) 6, 2; 6+2=8, 2) 6, 4; 6+4=10, 3) 6, 6; 6+6=12, 4) 2, 6; 2+6=8, 5) 4, 6; 4+6=10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: P=5/36.

Задача № 2.

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность четырем; в) сумма выпавших очков равна пяти, произведение четырем.

Ответ: а) 0,166667; б) 0,056; г) 0,056.

Задача № 3.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня, что эти три цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры ( считая , что номер телефона состоит из 10 цифр).

Указание: использовать формулу Размещений.

Ответ: 0,0014.

Задача образец.

В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m из N деталей, т. е. - числу сочетаний из N по m.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию ( среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно взять из n стандартных деталей способами; при этом остальные m-k деталей должны быть не стандартными; взять же m-k не стандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.

Задача № 4.

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

Ответ: а =0,25.

Задача № 5.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Ответ: а) 0,255.

Задача № 6.

В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.

Ответ: а) 0,6; б) 0,3.

Задача № 7.

В программе для компьютера, написанной в VBA, использована функция Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до x. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появиться число, делящееся на 3, если x=100?

Ответ: 0,03

Задача № 8.

Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что, разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК?

Указание: использовать формулу для перестановок.

Ответ: 0,000024.

Тема 3.