Пример разработки математической модели

В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов.

Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа.

Обозначим факторы: X₁ — расход газа в томильной зоне, м³/ч; X₂ — расход газа во второй сварочной зоне, м³/ч; X₃ — расход газа в первой сварочной зоне, м³/ч; X₄ — расход газа в нижней сварочной зоне, м³/ч; X₅ — положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис.3.1).

Рисунок 3.1 – Положение факторов (Х₁, …, Х₅) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи

Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2⁵=32 опытов.

Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся 1/4 репликой ПФЭ, т.е. ДФЭ типа 2^5-2, где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов (x₄=x₁ x₂, x₅=x₁ x₂ x₃ ). Это позволит сократить число опытов до 2³=8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 4.

Таблица 4 - Уровни варьирования факторов

Уровни факторов	Факторы
X1, м3/ч	X2, м3/ч	X3, м3/ч	X4, м3/ч	X5, % хода ИМ
Основной (нулевой)
Нижний
Верхний
Интервал варьирования

В табл. 5 приведены матрица планирования ДФЭ 2^5-2 и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи).

Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее во втором разделе методических указаний.

1. Расчет построчных средних:

где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,

Результаты расчета представлены в табл. 5.

Таблица 5 - Матрица ДФЭ 2^5-2 с двумя параллельными опытами

Факторы (кодированные значения)	Переменная состояния (отклик), кПа	Построчная дисперсия
Опыт1	Опыт2	Среднее	Модель
X0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1	Y2
						-2,5	-2,6	-2,55	-2,41	0,005
	-1			-1	-1	2,2	2,3	2,25	2,26	0,005
		-1		-1	-1	5,1	4,7	4,90	4,74	0,080
	-1	-1				-1,1	0,5	-0,30	0,08	1,280
			-1		-1	2,1	2,3	2,20	2,26	0,020
	-1		-1	-1		-2,0	-2,4	-2,20	-2,41	0,080
		-1	-1	-1		0,0	0,8	0,40	0,08	0,320
	-1	-1	-1		-1	4,2	5,1	4,65	4,74	0,405

2. Определение построчных (выборочных) дисперсий:

Аналогично S₂²=0,005; S₃²=0,08; S₄²=1,28; S₅²=0,02; S₆²=0,08; S₇²=0,32; S₈²=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий:

=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195.

3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:

Далее по приложению В находим . Для α=0,05, m=m*-1=2-1 и n=8 значение =0,6798. Поскольку , то дисперсии однородны.

4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии:

5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):

Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии

Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии:

Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента t_0,05;0,8=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,31, откуда Δb_j=2,31⋅0,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала Δb_j с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что |b₁|=0,069<0,303; |b3|=0,094<0,303 и |b₄|=0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде

Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели ) занесены в табл. 5.

6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности:

В нашем случае m*=2; n=8; l=3, и в результате имеем

С учетом ранее найденной выборочной дисперсии =2,195 определяем дисперсию воспроизводимости:

Экспериментальное значение критерия Фишера следующее:

Теоретическое значение критерия Фишера при α=0,05 можно определить по приложению Б или с помощью встроенной функции электронных таблиц Microsoft Excel FРАСПОБР. Для m₁=(n-l)=(8-3)=5 и m₂=n(m*-1)=8(2-1)=8 значение =3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку , то полученная модель адекватна.

Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий

Во многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений, но и нахождения таких численных значений факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки (x₁^*, x₂^*, ..., x_k^*) поверхности отклика y=f(x₁, x₂, ..., x_k), в которой она максимальна (минимальна): max y(x₁, x₂, ..., x_k)=y(x₁^*, x₂^*, ..., x_k^*).

Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта y(x₁, x₂) при двух факторах x₁, x₂ представлена на рис. 4.1. a, б. Здесь точка А соответствует оптимальным значениям факторов x₁^* и x₂^*, обеспечивающим максимум функции отклика y_max. Замкнутые линии на рис. 4.1., б характеризуют линии постоянного уровня и описываются уравнением y=f(x₁, x₂)=B=const.

Необходимость в экстремальных экспериментах довольно часто возникает в инженерной практике. Так, на модели шахтной печи с противоточно движущимся плотным продуваемым слоем, схема которой представлена на рис.4.2, требуется определить расположение фурмы по высоте печи H, ее диаметр D и высов L, обеспечивающие максимальную степень использования теплового потенциала газового потока. В данном случае факторами являются H, D, L, а в качестве функции отклика y(H, D, L,) в первом приближении можно использовать температуру отходящих из печи газов.

Рисунок 4.1 – Поверхность отклика (а) и линии равного уровня (б): y=f(X_1, X₂)=B=const для n=2

Заметим, что вид функции отклика в этом случае исследователю заранее неизвестен, т.е. отсутствует математическая модель, адекватно описывающая данный процесс. Требуется с наименьшими затратами (при минимальном числе опытов) определить оптимальные значения H*, L*, D^*, при которых температура отходящих газов минимальна.

Рисунок 4.2 – Схема шахтной печи: 1-1 – датчик температуры; 1-2 – регистрирующий прибор

Известный из практики метод "проб" и "ошибок", в котором факторы изменяются на основании опыта, интуиции или наугад, при обычно имеющем место значительном числе факторов при исследовании процессов в металлургии зачастую оказывается малоэффективным вследствие весьма сложной зависимости функции отклика от факторов.

Требуют значительно меньшего числа опытов и быстрее приводят к цели те поисковые методы оптимизации, где шаговое варьирование факторами производится целенаправленно по определенному плану. Поисковые методы оптимизации относятся к классу итерационных процедур, при этом весь процесс разбивается на шаги, на каждом шаге делается ряд опытов и определяется, каким образом нужно изменить факторы, влияющие на процесс, чтобы получить улучшение результата. При этом на каждом очередном шаге получаемая информация используется для выбора последующего шага.

Разработано множество методов пошаговой оптимизации. Рассмотрим только метод крутого восхождения, эффективность использования которого в промышленном и лабораторном эксперименте подтверждена практикой.

Метод крутого восхождения

Известно, что кратчайший, наиболее короткий путь — это движение по градиенту, т.е. перпендикулярно линиям равного уровня, на которых функция отклика принимает постоянные значения y(x₁; x₂, ..., x_k)=B. В связи с этим при оптимизации процесса рабочее движение целесообразно совершать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции y.

Существуют различные модификации градиентного метода, одним из них является метод крутого восхождения. Сущность этого метода также рассмотрим на примере двухфакторной задачи (рис.4.3).

Рисунок 4.3 – Процедура оптимизации методом крутого восхождения

В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е. grad y(x₁; x₂). Однако направление корректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика.

Пусть в окрестности точки М₀ как центра плана поставлен ПФЭ 2². Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Градиент функции отклика в этой точке определяется как

⋅ (4.1)

где j ,i— единичные векторы в направлении координатных осей.

Следовательно, для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в сторону, соответствующую знаку коэффициента. В процессе поиска двигаются в этом направлении до тех пор, пока не будет обнаружен локальный максимум (точка М₁ на рис. 4.4). В точке последнего находят новое направление градиента (направление М₁N), осуществляя опять же ПФЭ, и далее процедура повторяется. Стрелками на рис. 4.4 показана траектория движения к оптимуму.

Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций.

1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния x_i0. Расчет коэффициентов b_i линейной математической модели с целью определения направления градиента.

2. Расчет произведений b_iΔx_i, где Δx_i — интервалы варьирования факторов при ПФЭ (ДФЭ).

3. Выбор базового фактора x_i=x_i0, у которого

4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора h_a.

Этот выбор производится на основании имеющейся априорной информации или с учетом опыта исследователя, технологических соображений или других критериев. Относительно выбора шага заметим, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг создает опасность проскакивания области оптимума.

5. Расчет шагов изменения других факторов по формуле

(4.2)

Это соотношение между величинами шагов изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.

6. Составление плана движения по градиенту. Для этого в соответствии с определенными значениями шагов изменения факторов и их последовательным алгебраическим суммированием с основным уровнем в точке

находят координаты опытов 5, 6, 7, 8, 9, 10 (см.рис.4.4). Часть этих опытов полагают "мысленными". "Мысленный" опыт заключается в получении предсказанных (расчетных) значений функции отклика по линейному уравнению регрессии, что позволяет сократить объем реальных опытов, т.е. увеличить скорость продвижения к экстремуму. При "мысленном эксперименте" перевод координат в кодированную форму и подстановка их в уравнение модели объекта должна подтвердить действительное возрастание y. Обычно реальные опыты в начале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2-4 мысленных опыта. Другие опыты реализуют на практике, определяя последовательность значений y в направлении градиента. Из опытных данных находят положение локального экстремума (точка М₁ на рис.4.4).

7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии и нового направления градиента (направление М₁N на рис.4.4). В дальнейшем процедура повторяется до достижения следующего локального экстремума и так далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области.

Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов b_i. В почти стационарной области становятся значимы эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он использовался ранее) к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка.

Очевидно, что в задачах, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки коэффициентов b_i следует поменять на обратные. В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.

Задание к выполнению курсовой работы

а) Разработать математическую модель гидравлического режима методической печи с использованием теории планирования эксперимента.

Заданы следующие режимы работы методической печи:

Таблица 6.1 – Режимы работы методической печи

№ режима	Параметры работы
X1	X2	X3	X4	X5

X₁ — расход газа в томильной зоне, м³/ч; X₂ — расход газа во второй сварочной зоне, м³/ч; X₃ — расход газа в первой сварочной зоне, м³/ч; X₄ — расход газа в нижней сварочной зоне, м³/ч; X₅ — положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис. 5.1)

Рисунок 5.1 - Методическая печь

б) Осуществить проверку адекватности полученной модели.

в) Определить область оптимума путем метода крутого восхождения

Список литературы

1 Белай Г.Е., Дембовский В.В., Саценко О.В. Организация металлургического эксперимента: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Дембовского. – М.: Металлургия, 1993. – 256 с.

2 Теория и техника теплофизического эксперимента: Учеб. пособие для вузов / Ю.Ф.Гортышов, Ф.Н.Дресвянников, Н.С.Идиатуллин и др.; Под ред. В.К.Щукина. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 360 с.

3 Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 1991. – 400 с.

4 Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1988. – 239 с.

5 Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомиздат, 1991. – 354 с.

6 Шинк Х. Теория инженерного эксперимента: Пер. с англ. – М.: Мир, 1972. – 381 с.

7 Налимов В.В, Голикова Т.И. Логические основы планирования эксперимента. – М.: Металлургия, 1980. – 152 с.

8 Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов. – М.: Металлургия, 1974. – 264 с.

9 Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. – М.: Машиностроение, 1985. –232 с.

10 Математическая статистика: Учеб. для вузов / В.Б.Горяинов, И.В.Павлов, Г.М.Цветкова, О.И.Тескин; Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко. – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. – 424 с.

11 Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

12 Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 528 с.

13 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002 . – 479 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Содержание

1 Методы планирования экспериментов. 1

1.1 Основные определения и понятия. 1

1.2 Планирование первого порядка. 4

1.2.1 Выбор основных факторов и их уровней. 5

1.2.2 Планирование эксперимента……………………………6

1.2.3 Определение коэффициентов уравнения регрессии. 9

1.2.4 Статистический анализ результатов эксперимента. 11

1.2.5 Дробный факторный эксперимент. 13

2 Регрессионный анализ. 20

2.1 Проверка адекватности модели. 21

2.2 Проверка значимости коэффициентов уравнения
регрессии. 24

3 Пример разработки математической модели. 26

4 Планирование экспериментов при поиске оптимальных
условий. 32

4.1 Метод крутого восхождения. 34

5 Задание к выполнению курсовой работы.. 48

Список литературы…………………….... …………………………40

Приложение А.. 42

Приложение Б. 43

Приложение В………………………………………………………44

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению курсовой работы

по дисциплине «Инженерный эксперимент» для студентов направления подготовки 13.04.01 «Теплоэнергетика

и теплотехника» (программа магистерской подготовки «Промышленная теплоэнергетика») очной формы обучения

Составители:

Стогней Владимир Григорьевич

Солженикин Павел Анатольевич

Черниченко Владимир Викторович

В авторской редакции

Компьютерный набор П.А. Солженикина

Подписано к изданию 10.07.2015.

Уч.-изд. л.2,9. «С»

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14