Они хочут свою образованность показать и всегда говорят о непонятном

(А.П.Чехов – водевиль «Свадьба»)

…истинно говорю вам,

если не обратитесь и не будете как дети,

не войдете в Царство Небесное

(Мф. 18:3)

Вот бегает дворовый мальчик,

В салазки жучку посадив,

Себя в коня преобразив…

(А.С.Пушкин «Евгений Онегин»)

*************************************************************************************

Поиграем в «буковки» по правилам:

(1)

Игра состоит в том, что во всех предложенных выражениях или текстах, где встречаются «буковки» x и y , мы всюду вместо x будем писать a∙x'+b∙y', а вместо y – p∙x'+q∙y', совершая попутно всякие разумные преобразования буквенных выражений, как если бы они были составлены не из букв, а из чисел. Например, вместо ab (если надо) будем писать ba, вместо (a+b)c будем писать ac+bc или наоборот (опять же, если надо или если захочется) и т.д. В результате мы получим новое, как говорят, преобразованное выражение или текст, или ещё иногда говорят о «варианте текста», который бывает очень любопытно сравнить с исходным...

То, что текст изменится, это понятно (потому его и называют вариантом):

например, в нём уже не будет букв x и y, а будут новые буквы – x' и y'.

Но ведь любой текст должен выражать какой-то внутренний смысл и, значит, обладать структурой. Так может быть структура в целом или какие-то её «отдельности» останутся неизменными или, как говорят, инвариантными, если не по факту, то по смыслу?

Вот поиск таких инвариантов и составит содержание предлагаемой игры в преобразования.

В качестве примера рассмотрим преобразование квадратичной формы (КФ)

Ax² + 2Bxy + Cy² = (2)

=A(ax'+by')²+2B(ax'+by')(px'+qy')+C(px'+qy')²=

= A(a²x'²+2abx'y'+b²y'²)+

+2B(apx'²+(aq+bp)x'y'+bqy'²)+

+C(p²x'²+2pqx'y'+q²y'²) =

= (Aa²+2Bap+Cp²)x'²+

+2(Aab+B(aq+bp)+Cpq)x'y'+

+(Ab²+2Bbq+Cq²)y'²≡

≡A'x'²+2B'x'y'+C'y'², (3)

где

(4)

Здесь в левой части каждого равенства стоят

«смыслы» :« являются новыми коэффициентами»,

а в правой – «факты», свидетельствующие об истории возникновения этих «смыслов».

Таким образом квадратичная форма (2) сохраняет свой вид (пример «качественного» инварианта!) и в новых координатах (3) при условии, что коэффициенты пересчитываются по формулам (4).

Естественно поставить вопрос: а может ли наш «качественный» инвариант сохраняться и «количественно»? Точнее говоря, как надо сузить общность преобразования (1), или, что то же самое, как надо ограничить произвольность выбора чисел a, b, p, q, чтобы сохранялись и коэффициенты квадратичной формы (2)? То есть, чтобы было (5)

Ответ на этот вопрос даёт следующая

ТЕОРЕМА:

Если , где aq−bp=1,(6)

то квадратичная форма

−px² + (a−q)xy + by² (7)

инвариантна вместе со всеми своими коэффициентами.

То же будет верно и для обратного преобразования

(6')

при условии

ЗАМЕЧАНИЕ 1: Обратное преобразование мы получили из (1) естественным образом: новые (правые) буквы мы стали считать старыми (и потому лишили штрихов), а старые (левые) буквы стали рассматривать как новые (и для обозначения этого украсили их штрихами). Затем мы разрешили

полученные равенства относительно заново изготовленных старых букв и получили (6').

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Сравнивая (3) и (7) мы должны заметить, что

в случае (7) A ≡−p; B ≡½(a−q); C ≡b. (8)