Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.

3) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:

, (p, q – const) (1)

Общее решение уравнения (1)

,

где - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

,

- некоторые частные решения уравнения (1).

а) Рассмотрим решение ЛОДУ

(2)

Схема решения (2):

(3)

(4)

(5)

Пример 1.Найти общее решение уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) составим характеристическое уравнение:

.

его корни (1-ый случай). Общее решение исходного дифференциального уравнения будет согласно (3)

.

б) Составим и решим характеристическое уравнение

, (2-ой случай).

Общее решение согласно (4) будет

.

в) Составим и решим характеристическое уравнение

, (3-ий случай).

Общее решение согласно (5) будет

.

б) Решение ЛНДУ. Рассмотрим метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет вид

. (6)

В этом случае частное решение ЛНДУ 2-го порядка

следует искать в виде

. (7)

Здесь r равно числу совпадений контрольного числа с корнями характеристического уравнения ( - показатель экспоненты, - коэффициент при х в тригонометрических функциях и ). и - полные многочлены от х с неопределенными коэффициентами, причем k равно наибольшему из чисел m и n в (6), при этом если в входит может быть одна из функций и , то в (7) надо всегда вводить обе функции и .

Частными случаями функции рассматриваемой структуры являются следующие функции:

1. , А- постоянная, ;

2. , А, В - постоянные, ;

3. (многочлен степени n), ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры (6), то для отыскания частного решения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения. Например,

,

тогда , где - частные решения уравнений

.

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение.

а) - ЛОДУ. Составим характеристическое уравнение . Его корни

. Тогда .

б) Составим по правой части контрольное число . Показатель экспоненты равен 1. Функций и не содержит. Итак, контрольное число z будет равно 1. Следовательно, число совпадений (т.к. совпадений с корнями характеристического уравнения нет). Тогда частное решение будем искать в виде

.

Дифференцируем :

.

Аналогично найдем

.

Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Это равенство выполняется при всех значениях х, а значит, коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства совпадают. Приравнивая эти коэффициенты, получаем:

Таким образом,

.

Пример 3. Составить вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Так как , , то

.

Частное решение следует искать в виде

,

т.к. r=1 (есть одно совпадение контрольного числа с корнем характеристического уравнения).

б) Так как , , то

.

Контрольное число . Частное решение следует искать в виде

(т.к. r=0, совпадений нет).

в) .

Так как , то , . Контрольное число равно z=i ; есть совпадение с корнем характеристического уравнения, следовательно, частное решение следует искать в виде

.

Задание №3 для контрольной работы.

Найти:

а) частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка;