В деформируемой пористой среде
Вводные замечания
Характеристики фильтрационных потоков (давление, скорость фильтрации и др.) изменяются в пласте от точки к точке, т.е. образуют поле. Если элементы поля изменяются с течением времени, то движение флюидов является неустановившимся (нестационарным). Задачи неустановившейся фильтрации решаются методами математической физики с помощью систем дифференциальных уравнений.
Число уравнений в системе (дифференциальных и конечных) должно равняться числу неизвестных функций, характеризующих фильтрационный процесс и подлежащих определению. Такая система называется замкнутой.
В число дифференциальных уравнений фильтрации обязательно входят:
а) уравнение баланса массы в элементе пористой среды (уравнение неразрывности);
б) дифференциальные уравнения движения.
Для замыкания системы дополнительно вводятся уравнения состояния рассматриваемого флюида и пористой среды. Для получения решения системы уравнений задаются условия на границах пласта и в начальный момент времени.
В результате интегрирования прежде всего определяются распределение давления и скорости фильтрации по всему пласту в любой момент времени, т.е.
Р = Р (x,y,z,t) ,
Vx = Vx (x,y,z,t) ,
Vy = Vy (x,y,z,t) ,
Vz = Vz (x,y,z,t) .
В ряде случаев при постановке задачи жидкость и пласт можно считать несжимаемыми. Пористая среда считаетсянесжимаемой (недеформируемой), если объем пор не изменяется при изменении давления в них жидкости. Если же изменением объема пор при изменении давления пренебречь нельзя, то такие среды следует рассматривать какупругие (деформируемые, сжимаемые).
При рассмотрении несжимаемой идеальной жидкости (m, r - const) в недеформируемой пористой среде (К, m - const) число искомых функций ограничивается четырьмя перечисленными функциями.
Для фильтрации сжимаемого флюида в деформируемой (упругой) пористой среде нужно дополнительно определить плотность r, вязкость m, пористость m и проницаемость К как функции координат и времени. В этом случае нужно иметь восемь уравнений - дифференциальных и конечных - для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.
Постановка математической задачи, соответствующей процессу разработки реальной залежи и включающей дифференциальные и конечные уравнения, а также начальные и граничные условия, является центральным этапом моделирования.
Аналитическое (в виде формул) решение системы дифференциальных уравнений можно получить лишь в ограниченном числе простейших, сильно идеализированных случаев. В более сложных случаях система решается численными методами с применением ЭВМ.
Вывод уравнения неразрывности фильтрационного потока
Для однородного сжимаемого флюида
в деформируемой пористой среде
Для вывода дифференциальных уравнений фильтрации в пористой среде выделяется бесконечно малый элемент пористой среды и затем рассматриваются изменения массы, энергии и т.д., происходящие в нем за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются законы сохранения массы и энергии, а также дополнительные результаты, полученные в ходе экспериментального изучения свойств среды и поведения в ней флюидов.
Мы ограничимся рассмотрением процессов, для которых температура флюида равна температуре среды и неизменна. Вследствие того, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс, изменение температуры, возникающее в ходе движения за счет сопротивления и расширения вещества, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами.
Для таких изотермических процессов уравнения энергии рассматривать уже не нужно. Вместе с тем изучение неизотермических процессов имеет особо важное значение в связи с возможностью повышения нефтеотдачи при закачке в пласт теплоносителя (горячей воды, пара).