Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах

Для определения коэффициента гидравлического сопротивления при течении неньютоновских вязких жидкостей в трубах воспользуемся соображениями теории размерностей.

Рассмотрим жидкость с реологическим уравнением

,

где - реологические параметры.

Можно утверждать, что перепад давления зависит от следующих определяющих параметров: длины , диаметра , плотности , средней скорости в сечении трубы и реологических параметров жидкости [9].

Таким образом

(3.27)

Приняв величины в качестве параметров с независимыми размерностями и учитывая, что возрастает линейно при увеличении , из формулы (3.27) получим

где

(3.28)

причем величины

представляют собой критерии подобия.

Из формул (3.27) и (3.28) следует, что число критериев подобия равно числу реологических параметров жидкости.

Рассмотрим в качестве примера вязкопластичную жидкость (жидкость Бингама – Шведова). В этом случае формула (3.27) принимает вид

,

а выражение (3.28)

, (3.29)

где

Для получения аналитического вида зависимости (3.29) для ламинарного течения рассмотрим формулу (3.21). Её можно представить в виде

(3.40)

или

(3.41)

Положим

(3.42)

и подставим это выражение в формулу (3.41). Тогда после элементарных преобразований имеем [9]

(3.43)

где

(3.44)

Используя стандартную методику решения уравнений четвертой степени, получим, что корни уравнения (3.43) равны

(3.45)

(3.46)

где

(3.47)

Рассмотрим подкоренное выражение в формуле (3.46). Так как в соответствии со вторым равенством (3.47)

(3.48)

то после элементарных преобразований имеем

Поскольку в соответствии с формулой (3.44) а > 1, то из равенства (3.47) следует, что в и с величины вещественные, причем в > 0, с > а. Таким образом

и корни - комплексные.

Перейдем к рассмотрению корней . Непосредственной проверкой можно убедиться, что

(3.49)

из формул (3.47) и (3.48) имеем

(3.50)

подставив это выражение в формулу (3.45), получим

(3.51)

Из формул (3.47) следует, что при а = 1, в = 2, с = 3и

откуда > 0 при а > 1. Таким образом функции в(а) и с(а) монотонно возрастают с ростом а и < 1.

Итак, корни - вещественные. Для дальнейшего анализа перепишем, используя формулы (3.42), (3.43), (3.48), (3.50), соотношение (3.51) в виде

(3.52)

Переходя в равенстве (3.52) к пределу при , получим

Этот предельный переход должен привести к формуле Пуазейля. Следовательно, в формулах (3.51) и (3.52) необходимо выбрать знак «плюс» и окончательно

или с учетом равенства (3.42)

(3.53)

Как следует из формул (3.44) и (3.47), в = в(А), с = с(А). Сравнивая выражение (3.53) с формулой Дарси – Вейсбаха, получим

где - безразмерный параметр,

Таким образом коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости Бингама – Шведова есть функция двух взаимно независимых критериев подобия А и В, причем В совпадает с в формуле (3.29), а

Численные значения функции приведены в таблице. Можно показать, что при функция может быть аппроксимирована с погрешностью менее 2% выражением

Таблица

1/А	(А)	1/А	(А)	1/А	(А)	1/А	(А)
0,0000	3,00	0,0060	3,53	0,0250	4,25	0,0700	5,52
0,0005	3,14	0,0080	3,63	0,0300	4,40	0,0800	5,78
0,0010	3,20	0,0100	3,71	0,0350	4,55	0,1000	6,29
0,0020	3,29	0,0120	3,79	0,0400	4,70	0,1500	7,54
0,0030	3,36	0,0140	3,87	0,0450	4,84	0,2000	8,76
0,0040	3,42	0,1600	3,94	0,0500	4,98	0,2500	9,97
0,0050	3,48	0,0200	4,08	0,0600	5,25	0,3000	1 1,18

В качестве следующего примера рассмотрим степенную жидкость. Для этой жидкости формула (3.27) принимает вид

Приняв в качестве параметров с независимыми размерностями величины , используя -теорему и учитывая, что , получим

откуда

Безразмерными критериями подобия являются величины

где - аналог числа Рейнольдса для вязкой жидкости.

Для выяснения вида зависимости рассмотрим выражение, следующее из формулы (3.26)

(3.54)

Разрешив соотношение (3.54) относительно , получим

Сравнивая это выражение с формулой Дарси – Вейсбаха, имеем

.