В результате получаем уравнение узловых напряжений в форме баланса токов в матричном виде для общего случая, когда в схеме замещения имеются и источники тока, и источники ЭДС.

Рассчитаем элементы матрицы узловых проводимостей для схемы замещения, приведенной на рис. 1.5, используя полученные выражения. При совпадении базисного и балансирующего узлов матрица узловых проводимостей обладает следующими свойствами:

1. Это матрица, симметричная относительно главной диагонали, т.е.

2. Строки и столбцы матрицы соответствуют независимым узлам схемы замещения.

3. Матрица может быть легко сформирована непосредственно по схеме замещения (без перемножения матриц ):

На главной диагонали этой матрицы, т.е. на пересечении строк и столбцов, относящихся к одним и тем же узлам, стоят элементы , равные суммам проводимостей ветвей, связанных с этими узлами ( ). Остальные элементы этой матрицы, находящиеся на пересечении i - й строки и j – го столбца, равны взятым со знаком «минус» проводимостям ветвей между узлами i и j схемы замещения.

При несовпадении базисного и балансирующего узлов, матрица узловых проводимостей оказывается несимметричной, и на её главной диагонали могут находиться нулевые элементы. Это приводит к тому, что с точки зрения организации вычислений с применением ПК узловые уравнения оказываются менее рациональными.

В связи с этим целесообразно совмещать базисный и балансирующий узел во всех случаях, когда это не противоречит классической постановке задачи расчета установившегося режима электрической системы.

Матричное уравнение нелинейно, поскольку здесь - матрица - столбец нелинейных источников тока.

Частные случаи записи узловых уравнений:

1. В схеме замещения отсутствуют задающие токи (J=0). Такая схема замещения используется для расчета токов короткого замыкания (КЗ) или электромеханических переходных процессов. В качестве базисного, совпадающего с балансирующим, берется узел земли (нейтрали). При этом ,

и . Тогда уравнение узловых напряжений (1.21) превратится в линейное и приобретет вид:

. (1.22)

Возникновение трехфазного короткого замыкания в каком-то из узлов определяется тем, что в матрице узловых проводимостей исключается строка и столбец, соответствующие этому узлу. Одновременно исключается соответствующая строка из матрицы-столбца правых частей.

После решения системы узловых уравнений (как правило, методом Гаусса) рассчитывают токи в ветвях

,

и ток в месте короткого замыкания согласно первому закону Кирхгофа, как сумму токов ветвей, примыкающих к точке КЗ.

В промышленных программах расчетов токов КЗ иногда используют метод наложения аварийного режима на нормальный предшествующий режим.

2. Узловое уравнение в форме баланса токов записывается для схемы замещения,в которой отсутствуют ЭДС в ветвях( ).

Матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса токов (1.21) приобретает вид:

,

или, с учетом выражения для :

, .

Для частного случая — кольцевой сети найдем произведение матрицы узловых проводимостей на матрицу - столбец базисных напряжений .

Пусть узел 4 – базисный и балансирующий.

Тогда

где — матрица взаимных проводимостей между каждым независимым узлом и базисным узлом, её элементы, как и все взаимные проводимости в матрице Y_y, равны проводимостям соответствующих ветвей, взятым со знаком минус.

В результате получаем и матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса токов для условий, когда ЭДС ветвей , приобретает вид

. (1.23)

В (1.23) - число. Это матричное уравнение нелинейно, т.к. для к-го узла - номера независимых узлов. Здесь имеет место нелинейность вида , когда x – неизвестные напряжения в узлах.

Алгоритм расчета установившегося режима методом узловых напряжений.

1. Формируется узловое уравнение в матричном виде (основная трудность – рассчитать элементы матрицы ).

2. Решается система узловых уравнений, так как оно нелинейно, то:

· или численным методом решения систем нелинейных алгебраических уравнений,

· или уравнение линеаризуется (внешняя итерация), и несколько раз решается система линейных алгебраических уравнений.

В результате находятся напряжения в узлах (с наперед заданной точностью).

3. Рассчитывают токи ветвей

4. Рассчитываются мощности в начале и в конце каждой ветви

и потери мощности

в ветвях: - нагрузочные продольные потери,

суммарные нагрузочные продольные потери: . Кроме нагрузочных продольных есть еще поперечные потери холостого хода трансформаторов и потери активной мощности на корону.

Общие правила формирования нелинейных узловых уравнений установившегося режима электрической системы при задании мощности узлов такие:

1. Один из генераторных (активных) узлов, как правило, соответствующих мощной электростанции, принимается в качестве балансирующего, совпадающего с базисным.

2. Поперечные ветви схемы замещения учитываются только в диагональных элементах матрицы узловых проводимостей

Полученные системы уравнений нелинейные, и, следовательно, могут быть решены только итерационно.

Вопросы существования и единственности решения уравнений установившегося режима мы не рассматриваем, но можем утверждать, что согласно опыту практических расчетов для нормального режима электрической системы существует, как правило, одно технически допустимое решение.