Статистического распределения выборки

Определение 17. Выборочное среднее – среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности

.

Определение 18. Выборочной дисперсией D называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

Дисперсию можно рассчитать по формуле:

Определение 19. Выборочным средним квадратическим отклонением называется величина характеризующая отклонение, разброс в линейных размерах данных выборки относительно выборочного среднего.

Точечные оценки

Определение 20. Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется приближенное значение, полученное по данным выборки.

Определение 21. Точечная оценка – оценка, которая определяется одним числом q. Это точка на числовой оси, около которой находится оцениваемый параметр генеральной совокупности q₀.

Определение 22. Оценка q параметра q₀ называется несмещенной, если M(q) = q₀; в противном случае – смещенной.

Определение 23. Оценка q параметра q₀ называется состоятельной, если для любого положительного d , то есть q стремится к q₀ по вероятности и означает неограниченное увеличение точности с ростом объема выборки.

Определение 24. Оценка q параметра q₀ называется эффективной, если она является несмещенной и имеет наименьшую дисперсию при заданном объеме выборки.

Теорема 5.Выборочное среднее – несмещенная, состоятельная и эффективная оценка математического ожидания признака генеральной совокупности.

Теорема 6. Дисперсия выборочного среднего в n раз меньше дисперсии генеральной совокупности:

.

Теорема 7. Математическое ожидание выборочной дисперсии рассчитывается по формуле

.

Следовательно, дисперсия выборочного среднего является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку вводится исправленная дисперсия:

.

Интервальные оценки

Определение 25. Интервал (q – d, q + d), в пределах которого с вероятностью g находится оцениваемый параметр генеральной совокупности q₀, называется доверительным интервалом. Значение g называется доверительной вероятностью или надежностью оценки; предельная погрешность d – точность оценки.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определяется следующим образом:

причем, если стандартное отклонение этого распределения известно, то

;

если стандартное отклонение неизвестно, то

Здесь число t определяется из равенства F(t) = g / 2; t_g находится по таблице коэффициентов Стьюдента при заданных n и g (таблица № 4 Приложений); s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервальной оценкой (с надежностью g) стандартного отклонения s₀ нормально распределенного количественного признака X по исправленному выборочному стандартному отклонению s служит доверительный интервал

s×(1 – q) < s₀ < s×(1 + q) при q < 1,

0 < s₀ < s×(1 + q) при q > 1,

где q = q(n;g) определяется по таблице № 5 Приложений.

Задача. По данным выборки найти доверительные интервалы для оценок с надежностью g = 0,95 неизвестных математического ожидания a и стандартного отклонения s нормально распределенного признака X генеральной совокупности. Построить полигон частот по данным выборки:

xi	–2
ni

Решение.

1) Найдем объем выборки

.

2) Найдем выборочную среднюю

3) Вычислим дисперсию

4) Вычислим «исправленную» дисперсию и «исправленное» стандартное отклонение

5)

Определим по таблице № 4 Приложений величину t_g = t(n, g) = = 2,26, так как n = 10 и g = 0,95.