Комплексне число як вектор

Кожному к.ч. Комплексне число як вектор - student2.ru відповідає єдиний радіус-вектор Комплексне число як вектор - student2.ru , і навпаки, кожному радіусу-вектору Комплексне число як вектор - student2.ru відповідає єдине к.ч. Комплексне число як вектор - student2.ru ( рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором Комплексне число як вектор - student2.ru або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з Комплексне число як вектор - student2.ru . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні.

Якщо вектор Комплексне число як вектор - student2.ru зображає к.ч. Комплексне число як вектор - student2.ru , то домовимось писати Комплексне число як вектор - student2.ru .

Нехай Комплексне число як вектор - student2.ru Розглянемо паралелограм Комплексне число як вектор - student2.ru , див. рис.1.3.

Комплексне число як вектор - student2.ru

Рис.1.3

Очевидно, Комплексне число як вектор - student2.ru

Комплексне число як вектор - student2.ru , тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту.

Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.

Приклад. Доведемо нерівність Комплексне число як вектор - student2.ru , яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел.

Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що Комплексне число як вектор - student2.ru , тобто Комплексне число як вектор - student2.ru .

Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно.

Приклад.Знайти суму і різницю Комплексне число як вектор - student2.ru і Комплексне число як вектор - student2.ru , де Комплексне число як вектор - student2.ru , Комплексне число як вектор - student2.ru . Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма.

Розв’язання. Комплексне число як вектор - student2.ru

Комплексне число як вектор - student2.ru .

Виконати самостійно

В умовах попереднього прикладу знайти Комплексне число як вектор - student2.ru і Комплексне число як вектор - student2.ru , де 1) Комплексне число як вектор - student2.ru , Комплексне число як вектор - student2.ru ;

2) Комплексне число як вектор - student2.ru , Комплексне число як вектор - student2.ru .

4.12. Кут нахилу вектора до осі

Розглянемо довільний ненульовий вектор Комплексне число як вектор - student2.ru ( див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі Комплексне число як вектор - student2.ru в площині навколо точки Комплексне число як вектор - student2.ru до суміщення її з напрямком вектора Комплексне число як вектор - student2.ru , називається кутом нахилу цього вектора до осі Комплексне число як вектор - student2.ru ; при цьому j Комплексне число як вектор - student2.ru , якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j Комплексне число як вектор - student2.ru при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок Комплексне число як вектор - student2.ru збігається з напрямком Комплексне число як вектор - student2.ru , то j Комплексне число як вектор - student2.ru .

Комплексне число як вектор - student2.ru

Рис. 1.4

Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає , що додатний j+ і від’ємний j- кути визначають один і той же напрямок.

Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок , то такий же напрямок будуть задавати і кути Комплексне число як вектор - student2.ru , де Комплексне число як вектор - student2.ru . Отже, за кут нахилу вектора Комплексне число як вектор - student2.ru можна приймати будь-який з кутів Комплексне число як вектор - student2.ru , де Комплексне число як вектор - student2.ru ціле число.

Приклад. Легко перевірити, що кути 1350,4950,-2250,-9450 визначають один і той же напрямок ( відносно осі Комплексне число як вектор - student2.ru ).

Наши рекомендации