Преобразования квадратичных форм

Практикум. Квадратичные формы

В данном практикуме рассматриваются следующие задачи:

1) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов;

2 приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования;

3) исследование квадратичной формы на знакоопределенность при помощи критерия Сильвестра.

Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 9, 10 типового расчета.

Понятие квадратичной формы.

Преобразования квадратичных форм

Определение 1.Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени

. (1)

Запись вида (1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в линейном пространстве выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе:

.

Если обозначить через ( , ) матрицу -го порядка из коэффициентов , то квадратичную форму (1) можно записать в матричной форме

. (2)

Квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы.

Определение 2. Рангом квадратичной формы (2) называется ранг её матрицы . При этом пишут

.

Определение 3.Квадратичная форма (2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом . В противном случае (если ) квадратичная форма (2) называется вырожденной.

Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (2) при линейной замене переменных. Пусть переменные заменяются на переменные по формулам

(3)

где некоторые числа.

Если обозначить , , то (3) можно переписать в матричной форме

. (4)

Определение 4. Преобразование (4) называется линейным преобразованием. Матрица называется матрицей линейного преобразования. При этом, если матрица является неособенной, то преобразование (4) называется неособенным линейным преобразованием.

Применим преобразование (4) к форме (2):

,

где обозначена матрица .

Итак, если к квадратичной форме (2) применить линейное преобразование (10.4), то получим квадратичную форму

(5)

Если рассматривать как координатные вектор-столбцы вектора в базисах соответственно, то матрица является матрицей перехода от базиса к базису (при этом преобразование (4) будет неособенным линейным преобразованием).

Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (4), которые приводят квадратичную форму (2) к квадратичной форме (5) с диагональной матрицей :

.

Определение 5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных

произведений разноименных переменных:

. (6)

При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализирующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.

Если (2) есть невырожденная квадратичная форма ( ), то в результате неособенного линейного преобразования (4) матрица будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех : . Если же квадратичная форма (2) является вырожденной и имеет ранг , то диагонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица в этом базисе имеет следующий диагональный вид:

, , .

Для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6).

Пример 1. Задана квадратичная форма от трех переменных в стандартном базисе пространства :

.

Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода

.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Тогда по формуле (5) определяем матрицу этой формы в новом базисе

.

В новом базисе переменных квадратичная форма имеет канонический вид

.