Зміщені та незміщені точкові статистичні оцінки.

Точкові оцінки параметрів розподілу

Нехай об'єктом статистичного дослідження є деяка кількісна або якісна ознака (випадкова величина ξ), функція розподілу якої залежить від k не­відомих параметрів α₁ α₂,..., α_k (параметрів розподілу), тобто F(x) = F(x; α_1, α₂,..., α_k)

Провівши при однакових умовах п незалежних експериментів, отримаємо вибірку з генеральної сукупності x₁, x₂,..., x_n.

Означення 1. Точковою оцінкою параметра розподілу називається фун­кція від значень х_i (і = ), що спостерігались, яка (в певному розумінні) мало відрізняється від цього параметра.

За оцінку невідомого параметра розподілу можна запропонувати безліч різноманітних функцій вибірки, тому в математичній статистиці розглядаються оцінки, які задовольняють певним додатковим умовам, а саме: спроможності, незміщеності та ефективності.

Означення 2.Оцінка ãпараметра а називається спроможною, якщо при n→∞ ã збігається за ймовірністю до α , тобто для будь-якого ε > 0

ε}=1.

Означення 3.Оцінка ã параметра а називається незміщеною, якщо для будь-якого натурального п математичне сподівання ã дорівнює а, тобто Мã(х₁,х₂,…,х_п) = α.

Означення 4.Оцінка, яка має в певному класі оцінок мінімальну диспе­рсію називається ефективною.

Числові характеристики вибіркової сукупності.

Оцінки для математичного сподівання і дисперсії

Математичне сподівання і дисперсія є найбільш важливими числовими характеристиками випадкової величини. В класі лінійних функцій оцінкою для математичного сподівання є вибіркове середнє, яке обчислюється за формулами

Ця оцінка є спроможною і незміщеною.

Розв'язання питання про те, чи можна вважати цю оцінку ефективною залежить від структури закону розподілу генеральної сукупності. Наприк­лад, для нормального закону розподілу ця оцінка ефективна.

Для дисперсії спроможною оцінкою є вибіркова дисперсія, яка обчислюється за формулами

Обчислення показують, що Отже, тобто S² є зміщеною оцінкою для ơ².

Інтер оцінки.

Інтервальні оцінки параметрів розподілу

В багатьох випадках для невідомих параметрів потрібно знайти не то­чкову оцінку, а інтервальну, тобто побудувати інтервал, який з наперед за­даною ймовірністю утримує невідоме значення параметра. Така задача була розв'язана при вивчені оцінки невідомої ймовірності через частоту.

Нехай f_l(x₁,x₂,...,x_n) і f₂(x_l,x₂,...,x_n) - деякі функції від вибіркових значень для яких завжди f₁ ≤ f₂ ; β- деяке дійсне число з інтервалу (0;1) (його називають надійним рівнем).

Означення 9.Якщо для параметра атеоретичного закону розподілу виконується співвідношення

Р {f₁ ≤α≤ f₂} ≥ β

То f₁ i f₂ називають надійними межами для цього параметра, а інтервал (f₁; f₂) - надійним (довірчим) інтервалом, що відповідають надійному рівню β.

ІV. Підсумок

V. Домашнє завдання

1.Прочитати конспект. Вивчити означення.