Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной состоит в следующем: значение производной функции Геометрический смысл производной - student2.ru в точке Геометрический смысл производной - student2.ru равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке Геометрический смысл производной - student2.ru , то есть:

Геометрический смысл производной - student2.ru , где Геометрический смысл производной - student2.ru угол между положительным направлением оси Геометрический смысл производной - student2.ru и касательной к графику функции Геометрический смысл производной - student2.ru в точке Геометрический смысл производной - student2.ru .

Уравнение касательной имеет вид:

Геометрический смысл производной - student2.ru

Примеры решения задач

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной - student2.ru в точке с абсциссой Геометрический смысл производной - student2.ru .

Решение:

Найдем ординату точки касания: Геометрический смысл производной - student2.ru

Найдем значение производной в точке Геометрический смысл производной - student2.ru :

Геометрический смысл производной - student2.ru ; Геометрический смысл производной - student2.ru .

Имеем искомое уравнение: Геометрический смысл производной - student2.ru , то есть Геометрический смысл производной - student2.ru

Исследование функций и построение графиков

Общая схема исследования функции:

1. Найти область D(y), то есть те значения x, при которых функция определена.

2. Определить является ли функция чётной или нечётной.

Если f(-x)=f(x), то функция чётная (график будет симметричен относительно Оy)

Если f(-x)= - f(x), то функция нечётная (график будет симметричен относительно О)

3. Определить (если не затруднительно) точки пересечения с осями координат

С осью Оx: y=0, находим значение x С осью Оy: x=0, находим значение y

Найти асимптоты, если они имеются.

Наклонная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - student2.ru , где Геометрический смысл производной - student2.ru ,

Геометрический смысл производной - student2.ru .

Вертикальная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - student2.ru , если Геометрический смысл производной - student2.ru .

Горизонтальная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - student2.ru , если Геометрический смысл производной - student2.ru .

5. Найти критические точки функции:

а) находим производную функции Геометрический смысл производной - student2.ru

б) приравниваем производную к нулю Геометрический смысл производной - student2.ru

6. Определить промежутки монотонности функции:

Разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной в каждом из интервалов:

Если Геометрический смысл производной - student2.ru , то f(x) ­, если Геометрический смысл производной - student2.ru , то f(x) ¯

7. Определить экстремумы функции,то есть определяем точки min и max, вычисляем значение функции в этих точках.

8. Найти критические точки 2 рода:

а) находим вторую производную функции Геометрический смысл производной - student2.ru

б) приравниваем вторую производную к нулю Геометрический смысл производной - student2.ru

9. Определить промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба:

а) разбиваем область определения на интервалы и определяем знак второй производной в каждом из интервалов.

Если, Геометрический смысл производной - student2.ru то f(x)È , если, Геометрический смысл производной - student2.ru то f(x)Ç

б) определяем точки перегиба и вычисляем значение функции в них

Построить график

Используя результаты исследования, соединяем полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек.

Примеры решения задач

Пример 1.Исследовать функцию Геометрический смысл производной - student2.ru и построить ее график.

Решение:

1. Геометрический смысл производной - student2.ru .

2. Имеем: Геометрический смысл производной - student2.ru . Функция не является ни четной, ни нечетной, так как Геометрический смысл производной - student2.ru и Геометрический смысл производной - student2.ru .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: Геометрический смысл производной - student2.ru , получаем уравнение: Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Значит Геометрический смысл производной - student2.ru точки пересечения с осью Ox.

С осью Oy: Геометрический смысл производной - student2.ru , из равенства Геометрический смысл производной - student2.ru получаем Геометрический смысл производной - student2.ru

Значит (0;0) Геометрический смысл производной - student2.ru точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а) Геометрический смысл производной - student2.ru

б) Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru критические точки функции

6. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - student2.ru

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция убывает

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция возрастает

7. Точки экстремума: Геометрический смысл производной - student2.ru , тогда Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru , тогда Геометрический смысл производной - student2.ru

8. а) Геометрический смысл производной - student2.ru

б) Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru критическая точка II рода

9. Область определения функции разделится на два промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - student2.ru

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция выпукла вниз

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция выпукла вверх

При Геометрический смысл производной - student2.ru имеем точку перегиба, ее ордината Геометрический смысл производной - student2.ru

10. Построим график:

Геометрический смысл производной - student2.ru Геометрический смысл производной - student2.ru

Пример 2. Исследовать функцию Геометрический смысл производной - student2.ru и построить ее график.

Решение:

1. Геометрический смысл производной - student2.ru .

2. Имеем: Геометрический смысл производной - student2.ru . Функция является четной, так как Геометрический смысл производной - student2.ru . Значит график будет симметричен относительно Геометрический смысл производной - student2.ru .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: Геометрический смысл производной - student2.ru , получаем уравнение: Геометрический смысл производной - student2.ru . Уравнение является биквадратным, пусть Геометрический смысл производной - student2.ru , тогда Геометрический смысл производной - student2.ru . Получившееся уравнение не имеет действительных корней. Значит, точек пересечения графика с осью Ox нет.

С осью Oy: Геометрический смысл производной - student2.ru , из равенства Геометрический смысл производной - student2.ru получаем Геометрический смысл производной - student2.ru . Значит (0;3) Геометрический смысл производной - student2.ru точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а) Геометрический смысл производной - student2.ru

б) Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

4 Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru критические точки функции

6. Область определения функции разделится на четыре промежутка, определяем знак производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - student2.ru

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция убывает

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция возрастает

7. Точки экстремума: Геометрический смысл производной - student2.ru , тогда Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru , тогда Геометрический смысл производной - student2.ru

8. а) Геометрический смысл производной - student2.ru

б) Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru критические точки II рода

9. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - student2.ru

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция выпукла вниз

При Геометрический смысл производной - student2.ru функция выпукла вверх

При Геометрический смысл производной - student2.ru имеем точки перегиба, их ординаты Геометрический смысл производной - student2.ru

Геометрический смысл производной - student2.ru

10. Построим график:

Геометрический смысл производной - student2.ru Геометрический смысл производной - student2.ru

Тема 1.2

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение:Функция Геометрический смысл производной - student2.ru , определенная на интервале Геометрический смысл производной - student2.ru называется первообразной для функции Геометрический смысл производной - student2.ru , определенной на том же интервале Геометрический смысл производной - student2.ru , если Геометрический смысл производной - student2.ru .

Определение:Совокупность всех первообразных Геометрический смысл производной - student2.ru функции Геометрический смысл производной - student2.ru на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом Геометрический смысл производной - student2.ru , где Геометрический смысл производной - student2.ru подынтегральная функция, Геометрический смысл производной - student2.ru подынтегральное выражение, Геометрический смысл производной - student2.ru переменная интегрирования.

Таким образом, Геометрический смысл производной - student2.ru , где Геометрический смысл производной - student2.ru любое действительное число.

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Геометрический смысл производной - student2.ru .

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Наши рекомендации