СызыҚты теҢдеулер жҮйесі

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:

(1)

мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады.

Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын

сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады.

Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады.

Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады:

АХ=В (3)

(3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады.

Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

,

жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.Ең болмағанда бір бос мүше нөлге тең болмаса онда ол біртекті емес жүйе деп аталады.

ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КРАМЕР ӘДІСІ.Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

(4)

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

Д)Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) (5)

(5) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.

(j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

Сызықтық теңдеулер жүйесі. Гаусс әдісі.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісі деп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады.

Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді.

Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

(1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай:

(i=1,2,…,m) (1’)

(1) жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса,

(i=1,2,…,m) (2)

жүйе біртекті жүйе деп аталады. Е)ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ ГАУСС ӘДІСІ.n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,

.

Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:

1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;

2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;

3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу;

4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.

Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,

.

Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:

Матрицаның элементтері арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын мәнінде олар түрлендірулер нәтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:

(6)

Соңғы , ..., теңдеулеріндегі , ..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын.

Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды.

Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

Бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал.

Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Сонымен жүйенің шешімі табылды: