Марковские случайные процессы. Задание 211. Задана матрица вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1, 2) в состояние j (j=1,2) за один шаг

Задание 211. Задана матрица вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1, 2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу P₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

Задание 212.Техническое устройство имеет два возможных состояния: S₁ - «исправно, работает»; S₂ – «неисправно, ремонтируется». Матрица переходных вероятностей имеет вид:

Постройте граф состояний. Найти вероятности состояний после третьего шага и в установившемся режиме, если в начальном состоянии техническое устройство исправно.

Задание 213.За неуплату налогов предприятие S подвергается проверке налоговых органов 4 раза: в моменты времени t₁, t₂, t₃, t₄. Возможные состояния системы S: S₁ – предприятие работает, как и раньше; S₂ – наложен штраф; S₃ – предприятие находится под временным управлением; S₄ – предприятие ликвидировано.

Граф состояний системы имеет вид:

0,4 0,1

0,2

В начальный момент времени система находится в состоянии S₁. Определить вероятности состояний предприятия после четырех проверок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. – 5-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 400 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. 6-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2003. - 688 с.

4. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001– 656 с.

5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1998. – 304 с.

6. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. посо-бие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.

7. Глухов В.В., Медников М.Д.,Коробко С.Б. Математические методы и модели менеджмента. 2-е изд., испр. и доп. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 585 с.

8. Кундышева Е.С. Математика: Учебник для экономистов. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К^о», 2008. – 564 с.

9. Кузнецов Б.Т. Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления. – М.: ЮНТИ-ДАНА, 2004. - 719 с.

10. Ярцева Т.А. Математика: Учеб.-мет. пособие. – Белгород: Кооперативное образование, 2007. – 233 с.

Приложения

Приложение 1

Таблица значений функции .

х
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6										1,7
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Приложение 2

Таблица значений интеграла Лапласа .

Х	Ф(х)	Х	Ф(х)	Х	Ф(х)	Х	Ф(х)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0479	0,44	0,1700	0,76	0,2764
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,08	0,3599
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,9	0,3621
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,10	0,3643
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,11	0,3665
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,12	0,3686
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,13	0,3708
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,14	0,3729
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,15	0,3749
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,16	0,3770
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,17	0,3790
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,18	0,3810
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,19	0,3830
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,20	0,3849
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,21	0,3869
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,22	0,3883
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,23	0,3907
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264	1,24	0,3925
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289	1,25	0,3944

Окончание прил. 2

Х	Ф(х)	Х	Ф(х)	Х	Ф(х)	Х	Ф(х)
1,26	0,3962	1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,27	0,3980	1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,29	0,4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
1,35	0,4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2,68	0,4963
1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
1,37	0,4147	1,70	0,4554	2,06	0,4803	2,72	0,4967
1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0,4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1,41	0,4207	1,74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4840	2,82	0,4976
1,43	0,4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0,4265	1,78	0,4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1,47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0,4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
1,51	0,4357	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1,52	0,4345	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1,53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4913	3,40	0,49966
1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,499841
1,55	0,4394	1,88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,499928
1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499968
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,499997
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997

Приложение 3

Таблица значений t_γ=t(γ, n)

γ n	0,95	0,99	0,999	γ n	0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61		2,093	2,861	3,883
	2,57	4,03	6,86		2,064	2,797	3,745
	2,45	3,71	5,96		2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41		2,032	2,720	3,600
	2,31	3,36	5,04		2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78		2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	5,49		2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44		2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32		1,996	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22		1,991	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14		1,987	2,663	3,403
	2,13	2,95	4,07		1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02		1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97	∞	1,960	2,576	3,921
	2,10	2,88	3,92

Приложение 4

Формулы сокращенного умножения

а²-b²=(a-b)(a+b) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

(a+b)²=a²+2ab+b² a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

(a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Степени и корни

a⁰=1; a^-n= ; ; a^maⁿ=a^m+n;

=a^m-n; (a^m)ⁿ=a^mn; (ab)ⁿ=aⁿbⁿ; ;

; ; ; .

Логарифмы и их свойства

Если log_ba=c, то a=b^c; , a>0, b>0; b≠1.

log_a(bc)=log_ab+log_ac; log_a( )=log_ab-log_ac;

log_a(bⁿ)=n log_ab; log b= log_ab;

log_ab= ; log_ab= .

Квадратные уравнения

ax²+bx+c=0,

где а≠0, D=b²-4ac – дискриминант уравнения.

При D<0 – уравнение не имеет действительных корней;

при D=0 – уравнение имеет единственный корень;

при D>0 – уравнение имеет два действительных корня

х_1,2= .

По теореме Виета .

При D>0 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).

Таблица некоторых значений тригонометрических функций

Аргумент   Функция		π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2
0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sinx		1/2	/2	/2			-1
cosx		/2	/2	1/2		-1
tgx		/3			-		-
ctgx	-			/3		-