Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Функции комплексного переменного

Основные понятия

Пусть даны два множества Е и Д, элементами которых являются комплексные числа. Числа z=x+iy множества Д будем изображать точками комплексной плоскости z,а числа w=u+iv множества Е-точками комплексной плоскости W.

Если каждому числу z по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число w ,то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного w=f(z),отображающая множество Д в множество Е (смотри рис.1)

Если каждому z соответствует несколько значений w, то функция w=f(z) называется многозначной.

Множество Д называется областью определения функции w=f(z); множество Е-областью значений функции.

Функцию w=f(z) можно записать в виде

u+iv=f(x+iy),

т.е.

f(x+iy)=u(x;y)+iv(x;y),

где

u=u(x,y)=Re f(z), v=v(x,y)=Jm f(z), (x,y) D.

Функцию u(x;y) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) – мнимой.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции w=z².

Решение.

Z=x+iy, то z =(x+iy) =(x -y )-i2xy. Тогда w=e * e =e (cos(-2xy)+isin(-2xy))=e cos2xy-ie sin2xy. Действительная часть функции равна u= е cos2xy, а мнимая часть равна v= (-e sin2xy).

Определение. Число w₀ называется пределом функции w=f(z) в точке z₀ ( или при z z₀),

если для любого положительного найдется такое положительное число, что для всех z z₀,удовлетворяющих неравенству | z-z₀|< , выполняется неравенство |f(z)-w₀|< .

Записывают: f(z)=w₀.Это определение коротко можно записать так:

(

Определение. Функция w=f(z) называется непрерывной в точке z ,если

Основные элементарные функции комплексного переменного.

Показательная функция.

Показательная функция w=e определяется формулой

(cosy+isiny).

Пример 2. Найти e .

В нашем примере z= Тогда

e =cos +isin =i

Логарифмическая функция

Обозначается w=Lnz. Можно доказать, что Lnz=ln +i(arg z+2 k).

Эта формула показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет множество значений, т.е. это многозначная функция.

Пример 3.Вычислить Ln (-1).

Для числа z=-1 имеем z=1, arg z= .Следовательно,Lnz=ln1+i( k)=i(

Пример 4.Вычислить ln2i.

Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Lnz и обозначают символом lnz.

Имеем, ln2i=ln2i+iarg2i=ln2+i .

Пример 5.Найти Lni.

По формуле Lnz=lnz+i(argz+2 ,имеем Lni=lni+i(argi+2 +2 +2

Степенная функция

Степенная фукция w=z с произвольным комплексным показателем a= определяется равенством

W=z

Пример 6 .Вычислить i

i = .При к=0, i .

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции комплексного аргумента z=x+iy определяются равенствами

cosz= , tgz= , ctgz= .

Пример 7.Вычислить sin i.

Sini=

Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Sh z= , ch z= , tgz= ctgz= .

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

g

Пример 8.Вычислить arctg .

Arctgz=- ;

Arctg

=- .

Главное значение при к=0

arctg

Упражнения

1.Вычислить arccosi.

2. Вычислить i

3. Найти действительную и мнимую части функции w=sinz

4. Найти значение модуля функции w=sinz в точке z=

Комплексные числа

Комплексное число это упорядоченная пара действительных чисел (x,y).Записывается

Z=x+iy, где x-действительная часть числа, y-мнимая часть числа, i-мнимая единица,

i

Числа и называются сопряженными.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить.

Пусть то

Замечание. При деление комплексных чисел числитель и знаменатель умножают на сопряженный знаменатель.

Пример. Выполнить действия:

+ +

Упражнение.Выполнить действия: