Случайные события и их классификация, операции над событиями.

Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события). Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий. К понятию «вероятность» существует несколько подходов. Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным. Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе. Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Случайные события и их классификация, операции над событиями.

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий. Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе. Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

3) Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения идополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

§ алгебра конечных подмножеств ;

§ сигма-алгебра счётных подмножеств ;

§ алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов;

§ сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;

§ алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности . Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

4)Вероятность события. Классическое определение вероятности.

На основе вышеизложенного сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятностью события. Вероятность события A обозначается P(A). Так как событие есть множество, то вероятность события есть функция множества. Вероятности событий удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

(1.1)

1. Если A и B несовместные события, то

(1.2)

Вторая аксиома обобщается на любое число событий: если события А_i и A_j попарно несовместны для всех i≠j

События A₁, A_2, …, A_n называют равновозможными если

P(A₁)=P(A₂)= … =P(A_n). (1.3) Если в каком-то опыте пространство элементарных событий Ω можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий ω₁, ω₂, …, ω_n, то такие события называются случаями, а сам опыт сводится к схеме случаев. Случай ω_i называется благоприятным событием A, если он является элементом множества A: .

Классическое определение вероятности: вероятность события определяется по формуле

, (1.4) где n - число элементарных равновозможных исходов данного опыта;

m - число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.

5) Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить способами, а другую - способами, то все действие можно выполнить числом способов.

Пример. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется:

5 различных ручек,

7 различных карандашей,

10 различных линеек.

Сколькими способами можно составить требуемый набор?

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить

Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить способами, а другое - способами, то оба действия можно выполнить числом способов.

Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества .

Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями

При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному).

Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением , при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае –неупорядоченной.

6)Геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом бросается точка T, причем все точки области W равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение

, (1.5) где S(A) и S(W) — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и W соответственно.

7)Зависимые и независимые события. Условная вероятность события.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет. В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

(2.8) (при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло. Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

8)Теоремы умножения вероятностей.

ошибка-пересечение (2.9)

Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого (правило умножения вероятностей). Правило умножения вероятностей может быть обобщено на случай произвольного числа событий

(2.10) т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место. Событие A называется независимым от события B, если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. P(B/A)=P(B). Для независимых событий правило произведения вероятностей принимает вид:

.(2.11) Несколько событий A₁, A₂, …, A_n называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

(2.12) или (2.13)

т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

9Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием основных правил теории вероятностей: теорем сложения и умножения вероятностей. Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез):

{ H₁, H₂, ¼, H_n}, H_i Ç H_j=Æ при i¹j. (3.1) Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторые события, вероятности которых известны:

. (3.2) Рассматривается некоторое событие A, которое может появиться только совместно с одной из гипотез (3.2). Заданы условные вероятности события A при каждой из гипотез:

(3.3) Требуется найти вероятность события A. Для этого представим событие A как сумму n несовместных событий

A = (AÇH₁)È(AÇH₂) È... È(AÇH_n). (3.4)

По правилу сложения вероятностей .

По правилу умножения вероятностей P(H_iÇA)=P(H_i)×P(A/H_i). Тогда полная вероятность события A:

, (3.5) т.е. полная вероятность события A вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. Формула (3.5) называется формулой полной вероятности. Она применяется в тех случая, когда опыт со случайным исходом распадается на два этапа: на первом “разыгрываются” условия опыта, а на втором – его результаты.

10Формула Байеса.

Следствием правила умножения, и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса. По условиям опыта известно, что гипотезы несовместны, образуют полную группу событий:

Ø при и . Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») известны и равны

; Предположим, что опыт произведен и в результате появилось событие A. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятность гипотез с учетом этого факта, или, другими словами, какова вероятность того, что наступлению события A предшествовала гипотеза (послеопытные вероятности называются апостериорными):

. Вероятность наступления события A совместно с гипотезой H_k определяется с использованием теоремы умножения вероятностей:

P(AÇH_k)=P(H_k)×P(A/H_k)=P(A)×P(H_k/A). (3.6) Таким образом, можно записать:

P (H_k/A) =P (H_k) ×P (A/H_k)/P (A). (3.7) С использованием формулы полной вероятности

. (3.8) Формула (3.8) называется формулой Байеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат А

11Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли.

ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта. Пусть один тот же опыт проводятся n раз. В каждом опыте некоторые события А₁, А₂, …, А_r появляется с вероятностями р_1, р₂, …, р_п. Будем рассматривать не результат каждого конкретного опыта, а общее число появлений событий А₁, А₂, …, А_r . Рассмотрим случай с двумя возможными исходами опытов, т.е. в результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q=1-p. Вероятность P(n,k)того, что в последовательности из n опытов интересующее нас событие произойдет ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна (формула Бернулли)

. (4.1)

Следствия из формулы Бернулли.

1. Вероятность того, что событие А наступит менее k раз

(4.2)

1. Вероятность того, что событие наступит более k раз

(4.3)

1. Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз

. (4.4)

1. Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

(4.5)

Число к₀, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами: . (4.6)

12Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Теоремы Муавра-Лапласа. На практике приближенные формулы Муавра-Лапласа применяются в случае, когда p и q не малы , а npq>9. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р=const (0<р<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.8)

где: , -- кривая Гаусса.

Таблицы значений функции даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность появления события А в каждом из n (n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0<р<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.9)

где

- функция Лапласа,

,

Значения аргументов функции Лапласа для х Î[0,5] даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей (Приложение 2 настоящего методического пособия), для x>5 F(x)=1/2.Функция нечетная - F(x)= F(-x).