ЛЕКЦИЯ № 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Федеральное государственное бюджетное

Образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра общей математики

И.В. Терещенко И.В., А.В. Братчиков

М А Т Е М А Т И К А

Часть 1

Конспект лекций для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех направлений

Краснодар

УДК:

Математика. Часть 1:

Конспект лекций/И.В. Терещенко, А.В. Братчиков; Кубан. гос. технол. ун-т.-Краснодар : Издательство КубГТУ, 2011.-127с.

ISBN………..

Рассмотрены основные вопросы курса математики по разделам «Комплексные числа», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной».

Предназначено для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей.

Ил. 10. Библиог.: 30 назв.

Рецензенты: канд. тех. наук, Доцент Л.М. Данович;

д-р тех. наук, профессор Г.Т. Вартумян

© Кубанский государственный технологический университет, 2011

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ЛЕКЦИЯ № 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. ……………………….………….6

Вопрос 1.1. Элементы теории множеств. …………………………………....6

ЛЕКЦИЯ № 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ……………………………...8

Вопрос 2.1. Определение комплексных чисел. ……………………………...8

Вопрос 2.2. Алгебраическая форма комплексного числа. ………..……....13

ЛЕКЦИЯ № 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ..…………………...………15

Вопрос 3.1. Тригонометрическая форма комплексного числа. …………...15

Вопрос 3.2. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.18

Вопрос 3.3. Корень целой степени из комплексного числа. ………………18

ЛЕКЦИЯ № 4. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ...20

Вопрос 4.1. Матрицы и действия над ними. ………………………………..20

Вопрос 4.2. Определители 2-го и 3-го порядка. …………………………....26

ЛЕКЦИЯ № 5. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ..28

Вопрос 5.1. Определители n‑го порядка и их свойства. …………...………28

Вопрос 5.2. Обратная матрица.

Вопрос 5.3. Системы линейных алгебраических уравнений.

ЛЕКЦИЯ № 6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ……………………………………………………………….40

Вопрос 6.1. Правило Крамера. ………………………………………………40

Вопрос 6.2. Метод Гаусса. …………………………………………………...41

ЛЕКЦИЯ № 7. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ………………………………..44

Вопрос 7.1. Геометрические вектора и действия над ними. ………………44

ЛЕКЦИЯ № 8. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ………………………………..49

Вопрос 8.1. Проекция вектора на направленную ось. ……………………..49

Вопрос 8.2. Скалярное произведение векторов. …………………………...51

ЛЕКЦИЯ № 9. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ………………………………..53

Вопрос 9.1. Векторное произведение. ……………………………………....53

ЛЕКЦИЯ № 10. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ………………………………55

Вопрос 10.1. Смешанное произведение векторов. ………………………...55

Вопрос 10.2. Свойства смешанного произведения. ………………………..58

ЛЕКЦИЯ № 11. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. …………………59

Вопрос 11.1. Прямая на плоскости. …………………………………………59

Вопрос 11.2. Различные типы уравнений прямой на плоскости. ………....61

ЛЕКЦИЯ № 12. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. …………………65

Вопрос 12.1. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости. …………65

ЛЕКЦИЯ № 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. …………………69

Вопрос 13.1. Прямая в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. …………………………………………………………………69

Вопрос 13.2. Кривые второго порядка. Канонические уравнения. ……….71

ЛЕКЦИЯ № 14. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. …………73

Вопрос 14.1. Основные определения теории числовых последовательностей. ………………………………………………………..73

Вопрос 14.2. Предел числовой последовательности. ……………………...75

ЛЕКЦИЯ № 15. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. …………78

Вопрос 15.1. Подпоследовательности. ……………………………………...78

ЛЕКЦИЯ № 16. ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. …………...81

Вопрос 16.1. Числовые функции одного переменного. …………………...81

Вопрос 16.2. Предел функции. ……………………………………………....84

ЛЕКЦИЯ № 17. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ………………86

Вопрос 17.1. Односторонний предел функции. ……………………………86

Вопрос 17.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ……….87

Вопрос 17.3. Сравнение функций. O-символика. ………………………….88

Вопрос 17.4. 1-й и 2-й замечательный пределы. …………………………...90

ЛЕКЦИЯ № 18. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ………………91

Вопрос 18.1. Точки разрыва. ………………………………………………...91

Вопрос 18.2. Производная функции и ее геометрический смысл. ………..92

Вопрос 18.3. Правила дифференцирования. ……………………………….93

Вопрос 18.4. Дифференцируемость сложной и обратной функции. ……..94

ЛЕКЦИЯ № 19. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ………………95

Вопрос 19.1. Дифференцирование функции заданной параметрически. ...95

Вопрос 19.2. Таблица производных. ………………………………………..96

Вопрос 19.3. Дифференциал функции. ……………………………………..99

ЛЕКЦИЯ № 20. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ……………..100

Вопрос 20.1. Производная n-го порядка. ………………………………….100

Вопрос 20.2. Дифференциал n-го порядка. ……………………………….101

Вопрос 20.3. Теорема Ферма и Ролля. …………………………………….102

ЛЕКЦИЯ № 21. ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА И КОШИ. ………………...104

Вопрос 21.1. Теорема Лагранжа. …………………………………………..104

Вопрос 21.2. Правила Лопиталя - Бернулли. ……………………………...105

Вопрос 21.3. Раскрытие неопределенностей. ……………………………..107

ЛЕКЦИЯ № 22. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ……………………………….108

Вопрос 22.1. Формула Тейлора. ……………………………………….…...108

Вопрос 22.2. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано. ……..109

Вопрос 22.3. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. …110

ЛЕКЦИЯ № 23. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА. ………………….……………111

Волрос 23.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора. ……………………………………………………………………...112

Вопрос 23.2. Бином Ньютона. ……………………………………………...115

ЛЕКЦИЯ № 24. ЭКСТРЕМУМЫ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. ………….116

Вопрос 24. 1. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции. ………………………………………….116

Вопрос 24.2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. ………….120

ЛЕКЦИЯ № 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. …………………….121

Вопрос 25.1. Асимптоты графика функции. .121

Вопрос 25.2. Общая схема исследования графика функции. ……………123

Список литературы ……………………………………………………….125

ЛЕКЦИЯ № 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ.