Описание экспериментальной установки

m

b

mг

Рисунок 2.1. Экспериментальная установка

T2

T1

G

Столик

Катушка

Подпятник

Блок

Образец

Линейка

2Rк

A

O

X

a

aг

Схема экспериментальной установки показана на рисунке 2.1.

Установка состоит из следующих элементов.

· Столик в виде диска с вертикальной ножкой. Ножка столика укреплена в опорном подшипнике (подпятнике), в котором она может свободно вращаться вокруг вертикальной оси.

· На столик в нужном для экспериментатора месте кладётся и закрепляется исследуемый образец. В данной лабораторной работе образец имеет форму цилиндра. На образце написана его масса m. Для закрепления образца к нему внизу вдоль его оси прикреплён винт, а по всей площади столика просверлены отверстия с резьбой, куда можно вставлять и прикручивать винт образца. Одно из отверстий просверлено вдоль оси столика. Это, во-первых, позволяет измерять расстояние между главной осью образца и осью вращения столика, а во-вторых, позволяет, в частности, вращать образец вокруг его главной оси.

· Для того чтобы привести столик во вращение, на его ножку одета и закреплена катушка, на которой намотан шнур. Этот шнур с другой стороны переброшен через блок, и к концу шнура прикреплён груз массой m_г. Под действием силы тяжести груз опускается и натягивает шнур. Шнур раскручивает катушку, в результате крутится и столик.

· Для измерения углового ускорения столика надо измерять путь, который проходит опускающийся груз за определённое время. Этот путь можно измерить с помощью вертикально установленной линейки.

Методика эксперимента

Главной задачей лабораторной работы является проверка теоремы Штейнера, которая выражается уравнением (1.4)

.

Рассмотрим, как можно измерить величины, входящие в это уравнение.

3.1. Расстояние b между осями O и A можно измерить прямым способом – линейкой. Массу образца m измерять не надо – она уже измерена изготовителем и написана на образце.

Для измерения момента инерции образца предлагается измерять его угловое ускорение e, а затем использовать уравнение моментов (1.5).

3.2. Измерение углового ускорения e. Образец вращается вместе со столиком, так что угловое ускорение образца – это угловое ускорение системы столик-катушка-образец. Угловое ускорение катушки связано с тангенциальным ускорением точек на вращающейся поверхности катушки a_t соотношением

, (3.1)

где R_к – радиус катушки. Считая шнур нерастяжимым, можно утверждать, что точки размотанной части шнура движутся с той же скоростью, что и точки намотанной части. Поэтому у них одно и то же тангенциальное ускорение. Точки размотанной части шнура движутся прямолинейно, поэтому их тангенциальное ускорение a_t равно полному ускорению a, так что

. (3.2)

Ускорение a, с которым движутся точки размотанной части шнура, равно ускорению груза, поэтому формулу (3.2) можно понимать как формулу, связывающую угловое ускорение образца e и линейное ускорение груза a.

3.3. Измерение ускорения груза a. Будем считать, что груз движется равноускоренно, то есть значение его ускорения a в процессе движения не изменяется. Тогда от начала движения груз за время t опустится на расстояние , поэтому, измерив линейкой расстояние h, можно узнать ускорение груза по формуле

. (3.3)

3.4. Измерение момента силы натяжения шнура. В уравнение моментов (1.5) входит сумма проекций моментов сил, приводящих тело во вращательное движение. В экспериментальной установке вращение создаётся единственной силой: это – сила натяжения шнура T₂, действующая на катушку. Момент этой силы M_т направлен вдоль оси вращения катушки, поэтому проекция момента на ось вращения равна его модулю M_т. По определению, модуль момента силы равен произведению силы на плечо силы[27]. Плечом силы T₂ является радиус катушки R_к, поэтому

. (3.4)

Радиус катушки можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. Как измерить силу натяжения шнура, написано в следующем пункте.

3.5. Измерение силы натяжения шнура. Сила натяжения шнура в его горизонтальной части T₂ меньше, чем сила натяжения в вертикальной части T₁, однако разница между ними тем меньше, чем легче блок и чем меньше его момент инерции I_Б. При условии, что , где R_Б – радиус блока, можно пренебречь разницей между T₂ и T₁ и считать, что

. (3.5)

Данное условие в данной экспериментальной установке выполняется. Поэтому для нахождения силы натяжения можно рассматривать вертикальный участок шнура и прикреплённый к нему груз. Движение определяется вторым законом Ньютона:

, (3.6)

где G – сила тяжести, действующая на груз. Перейдём от векторов к числам. Для этого запишем уравнение (3.6) в проекциях на вертикальную ось OX.

, (3.6)

откуда следует, что

. (3.7)

Масса груза измерена изготовителем и написана на грузе, а как измерить ускорение a, описано в пункте 3.3.

3.6. Измерение момента инерции. Как указывалось выше, для нахождения момента инерции образца можно использовать уравнение моментов (1.5). Удобно, однако, применить это уравнение не к образцу, а к системе столик-катушка-образец. В этом случае сумма проекций моментов сил равна моменту силы натяжения шнура M_т, а знаменатель уравнения – это полный момент инерции системы I_п, равный сумме момента инерции образца I и момента инерции столика с катушкой I_с. Таким образом,

, (3.8)

откуда следует:

. (3.9)

Как измерить угловое ускорение e и момент силы натяжения M_т, описано в пунктах 3.2 и 3.4. Измерить момент инерции столика с катушкой I_с можно, если снять со столика образец. В этом случае

. (3.10)

Подстановка в (3.9) и (3.10) формул (3.4), (3.7), (3.2) и (3.3) даёт следующие две формулы, определяющие способ измерения момента инерции столика с катушкой и момента инерции образца:

, (3.11)

. (3.12)

3.7. Измерение главного момента инерции образца I₀. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно установить образец в центре столика – тогда измерение момента инерции образца как раз и даст значение I₀. Второй способ основан на том, что образец имеет цилиндрическую форму. При этом, согласно таблице 1.1,

. (3.13)

Как указано выше, масса образца m на нём написана, радиус образца R можно измерить штангенциркулем. Целесообразно измерить главный момент инерции образца I₀ как первым, так и вторым способами. Если результаты измерений совпадут, то это будет свидетельствовать о том, что метод измерения момента инерции, используемый для проверки теоремы Штейнера, является правильным.

3.8. Проверка теоремы Штейнера. Теорема утверждает, что момент инерции образца I и расстояние между осями b связаны квадратичной зависимостью. Убедиться, что это так, можно методом линеаризации. Для этого введём вспомогательную величину . Тогда из (1.4) следует:

. (3.12)

Зависимость I(z) – линейная, и графиком этой зависимости является прямая линия. Поэтому надо провести серию измерений момента инерции образца при различных значениях b, а затем на основании полученных результатов построить график зависимости I(z). Если экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет подтверждением теоремы Штейнера.

Порядок выполнения работы

4.1. Получите у лаборанта образец, штангенциркуль и линейку.

4.2. На образце и на грузе написаны их массы. Запишите эти числа в таблицу 4.1.

4.3. Измерьте штангенциркулем радиусы образца и катушки. Результаты запишите в таблицу 4.1.

4.4. Используя формулу (3.11), измерьте главный момент инерции образца I₀. Результаты запишите в таблицу 4.1. Туда же запишите погрешность измерения D(I₀). Как оценить эту погрешность, написано в пункте 5.

Таблица 4.1. Параметры экспериментальной установки

m	mг	R	Rк	I0	D(I0)
кг	кг	мм	мм	кг×м2	кг×м2

4.5. Измерьте момент инерции столика с катушкой I_с. Для этого проделайте следующие действия. Образец на столик не устанавливайте!

· Поднимите груз, замерьте по линейке высоту h, на которую вы его подняли. Отсчёт высоты следует делать по нижней точке груза. Результат измерения запишите в таблицу 4.2.

· Плавно, без толчка отпустите груз. Одновременно включите секундомер.

· В момент падения груза на пол выключите секундомер и запишите время падения груза t в таблицу 4.2.

· Заполните таблицу 4.2. Для определения момента инерции столика с катушкой I_с используйте формулу (3.11). Как оценить погрешность D(I_с), написано в пункте 5.

Таблица 4.2. Измерение момента инерции столика с катушкой I_с

h	t	Iс	D(Iс)
см	с	кг×м2	кг×м2

4.6. Измерьте момент инерции образца при различных расстояниях b между главной осью образца O и осью вращения A. Для этого проделайте 7 раз следующие действия.

· Определите, в каком месте столика вы желаете установить образец и измерьте линейкой расстояние b между осью вращения столика и тем отверстием, в которое вы собираетесь вкрутить винт образца. Результат измерения запишите в таблицу 4.3. Установите образец на столик в намеченном месте и закрепите его. В одном из опытов серии образец надо установить в центре столика – в этом случае
b = 0.

· Поднимите груз, замерьте по линейке высоту h, на которую вы его подняли. Отсчёт высоты следует делать по нижней точке груза. Результат измерения запишите в таблицу 4.3.

· Плавно, без толчка отпустите груз. Одновременно включите секундомер.

· В момент падения груза на пол выключите секундомер и запишите время падения груза t в таблицу 4.3.

· Заполните таблицу 4.3. Для определения момента инерции образца I используйте формулу (3.12). Как оценить погрешности D(z) и D(I), написано в пункте 5.

Таблица 4.3. Зависимость момента инерции образца I
от расстояния между осями b

№ опыта	b		h	t	I	D(z)	D(I)
см	см2	см	с	кг×м2	см2	кг×м2

4.7. На основании данных таблицы 4.3 постройте график экспериментальной зависимости I(z).

· Выделите для графика не менее половины страницы.

·
Выберите подходящий масштаб, имея в виду, что по горизонтальной оси (оси абсцисс) надо откладывать значения z, а по вертикальной оси (оси ординат) – значения I.

· Нанесите на график экспериментальные точки в виде не закрашенных кружочков диаметром примерно 2 мм.

· Нанесите на график планки погрешностей. Это значит, что надо от каждой экспериментальной точки отложить влево и вправо отрезок длиной D(z), а затем отложить вверх и вниз отрезок длиной D(I).

· Проведите по линейке экспериментальную прямую – так, чтобы она пересекла планки погрешностей всех экспериментальных точек и при этом прошла наиболее близко ко всем точкам. Образец показан на рисунке 4.1.

4.8. Сравните результаты измерения главного момента инерции образца I₀, приведённые в таблице 4.1 и в таблице 4.3.

4.9. Сформулируйте выводы.