Контрольная расчетная работа по кинематике

Задача 2.1

Задача 2.1 относится к кинематике точки, способ задания движения координатный. Для определения скорости и ускорения точки следует найти их проекции на координатные оси. Используя найденные значения скорости и ускорения, можно определить касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории. Исходные данные приведены в табл. 5.

Таблица 5

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
см	см	см	, см
	t3+1	sinpt	sin2pt
	2t2–2	cospt	cos2pt
	3t4–3	sinpt/2	sin2pt/2
	t3–4	cospt/2	cos2pt/2
	3t2+5	sinpt/3	sin2pt/3
	4t-6	cospt/3	cos2pt/3
	t3+7	sinpt/4	sin2pt/4
	4t2–8	cospt/4	cos2pt/4
	5t+9	sinpt/6	sin2pt/6
	t2+10	cospt/6	cos2pt/6

Условия

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах (x, y, z в см, t в с). Определить величину и направление скорости и ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени , см.

Пример решения задачи 2.1

Условие. Решим задачу в случае, если уравнения движения точки в декартовых координатах имеют вид:

(для момента времени = 1 c).

Решение. 1. Определим проекции скорости на оси декартовых координат в указанный момент времени:

2. Модуль скорости точки в указанный момент времени:

3. Направление вектора скорости в данный момент времени определим с помощью направляющих косинусов:

4. Определим проекции ускорения на оси декартовых координат в указанный момент времени:

5. Модуль ускорения точки в указанный момент времени:

6. Направление вектора ускорения в данный момент времени определим с помощью направляющих косинусов:

7. Найдем модуль проекции ускорения точки на касательную (модуль касательного ускорения точки) через значения проекций скорости и ускорения на оси координат: .

Для заданного момента времени t₁

8. Модуль проекции ускорения точки на нормаль (нормальное ускорение) точки найдем из соотношения . Для заданного момента времени t₁

9. Радиус кривизны траектории r найдем из формулы для нормального ускорения точки откуда . В нашем случае

.

Задача 2.2

Задача 2.2 посвящена одному из простейших движений твердого тела – вращению твердого тела вокруг неподвижной оси. Исходные данные для различных вариантов приведены в табл. 6.

Таблица 6

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
t1, с	t2, c	t3, c	h, см	Номер условия	j=j(t), рад	w1, с-1	w2, с-1	e, с-2
	0,5				2.2.1	t3+sin(pt)	–	–	–
	1,0				2.2.1	2t2–cos(pt)	–	–	–
	1,5				2.2.1	3t+sin2(pt/2)	–	–	–
	2,0				2.2.1	4t–cos2(pt/2)	–	–	–
	2,5				2.2.2	–			–
	0,5				2.2.2	–			–
	1,0				2.2.2	–			–
	1,5				2.2.3	–		–	1,0
	2,0				2.2.3	–		–	1,5
	2,5				2.2.3	–		–	2,0

Условия

2.2.1. По заданному уравнению вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси j= j (t) определить: 1) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент времени t₁; 2) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t₂; 3) число оборотов N тела за время t₃.

2.2.2. Диск, вращающийся равноускоренно вокруг неподвижной оси, в моменты времени t₁ и t₂ имеет угловые скорости w₁ и w₂ соответственно. Определить: 1) скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент t₂; 2) число оборотов N тела за время t₃; 3) уравнение вращательного движения диска, если в начальный момент времени t₀=0 начальный угол поворота j₀=0.

2.2.3. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением e, имеет в момент времени t₁ угловую скорость w₁. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t₂; 2) число оборотов N тела за время t₃; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t₀=0 начальный угол поворота j₀=0.

Пример решения задачи 2.2

Условие. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением e=2 рад/с, имеет в момент времени t₁=2,5 с угловую скорость w₁=40 рад/с. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения в момент t₂=7 с; 2) число оборотов N тела за время t₃=10 с; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t₀=0 начальный угол поворота j₀=0.

Решение. 1. При равноускоренном вращении угловая скорость тела изменяется по закону . Зная значение угловой скорости w₁ в некоторый момент времени t₁ и угловое ускорение e, можно найти начальную угловую скорость w₀ (при t₀=0): . Отсюда угловая скорость тела в момент времени t₂=7 с будет равна

Скорость v и ускорение a точки М тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения, в момент времени t₂ = 7 c будут равны:

Направление векторов скорости и ускорений указаны на рис. 11.

2. Число оборотов тела за время t₃=10 с определим по соотношению

,

где n (t) – число оборотов тела за секунду в данный момент времени.

В рассматриваемой задаче

об.

3. Уравнение вращательного движения тела получим из соотношения , умножив обе его части на дифференциал времени dt: . Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий (t₀=0, j₀=0):

получим

Задача 2.3

Данная задача относится к сложному движению точки. Для определения абсолютной скорости точки необходимо найти ее относительную и переносную скорости и воспользоваться теоремой параллелограмма скоростей. Исходные данные представлены в табл. 7.

Таблица 7

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
AM=s=¦(t), см	t1, c	w, c-1	R, см	a, см	a, град	Номер схемы (рис. 12)
	30sinpt/6					–
	20(t2–t)
	25(1–cospt/4)					–
	3t2					–
	40sinpt/3				–
	90(cospt/4–1)					–
	15(t+sinpt/2)					–
	20(t–sinpt/6)					–
	2(t2+t)
	8(t+sinpt/3)				–	–

Условие

Точка М движется по хорде диска (см. рис. 12, схемы 1, 3, 4), по диаметру (см. рис. 12, схемы 2, 5, 7, 8, 9) или ободу (см. рис. 12, схемы 6, 10) согласно закону s=АМ=¦(t). Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О₁ и перпендикулярной плоскости диска (см. рис. 12, схемы 1, 2, 6, 7, 9), или вокруг оси О₁О₂, лежащей в плоскости диска (см. рис. 12, схемы 3, 4, 5, 8, 10), в направлении, указанном стрелкой, с постоянной угловой скоростью w. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁.

Примечание. Точка М изображена на схемах (см. рис. 12) в области положительных значений дуговой координаты s.

Пример решения задачи 2.3

Условие. Точка М движется по ободу диска радиусом R=20 см согласно закону s=АМ=6 t sin(pt/3). Диск вращается вокруг неподвижной оси О₁О₂, лежащей в плоскости диска, в направлении, указанном стрелкой, с постоянной

угловой скоростью w=0,5 рад/с. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁=5 с (рис. 13).

Решение. В данной задаче относительное движение точки – движение по ободу диска относительной системы отсчета, связанной с диском; переносное движение – вращение вместе с диском вокруг неподвижной оси; абсолютное движение – движение точки относительно неподвижной оси.

1. Определим параметры относительного движения точки:

а) положение точки М в заданный момент времени t=5 с:

Знак минус означает, что точка М в рассматриваемый момент времени находится в области отрицательных значений дуговой координаты s;

Рис. 12. Схемы к задаче 2.3

б) определим центральный угол a и отрезок MN:

в) найдем проекцию относительной скорости точки М на касательную в данный момент времени:

Вектор относительной скорости направлен по касательной к относительной траектории точки (по касательной к дуге АМ) в сторону возрастания дуговой координаты (рис. 14), так как проекция на касательную имеет положительное значение.

2. Определим модуль переносной скорости точки М как вращательной скорости той точки диска, где в данное мгновение находится движущаяся точка М:

.

Вектор переносной скорости перпендикулярен плоскости диска и направлен в сторону его вращения.

3. Модуль абсолютной скорости точки М найдем по формуле

Вектор абсолютной скорости направлен по диагонали прямоугольника, построенного на относительной и переносной скоростях как сторонах.

4. Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного _отн ,переносного _пер и кориолисова _кор ускорений:

_абс = _отн + _пер + _кор ,

или с учетом условий задачи в развернутом виде

_абс = _отн + _отн + _пер + _кор ,

где при t₁=5с касательное ускорение в относительном движении:

_отн = ;

нормативное ускорение в относительном движении:

_отн = ;

нормативное ускорение в переносном движении:

_пер = ;

кориолисово ускорение:

_кор = .

Положительный знак _отн показывает, что вектор _отн направлен в сторону положительных значений S; вектор _отн направлен по нормали к траектории движения точки в относительном движении, т.е. по нормали к окружности радиусом MN к её центру, вектор _кор направлен согласно правилу векторного произведения векторов и _отн (рис. 14,а)

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекции на оси х, у и z (рис. 14,б):

_{абс x} = _пер+ _отн cos - _отн sin =13,6 + 4,1cos 24,8 – - sin 24,8 = 5,37 см/с²

_{абс y} = - _отн sin - _отн cos = 4,1sin 24,8 – 28,5cos24,8 = = -27,6 см/с²

_{абс z} = _кор = 6,6 см/с²

_абс = см/с²

Направление вектора _абс определяется её углами с осями координат:

( абс ^{^}, ) = абс cos = абс cos = 79,3

( абс ^{^}, ) = абс cos = абс cos = 162,7

( абс ^{^}, ) = абс cos = абс cos = 76,8

Задача 2.4

Задача 2.4 относится к плоскому движению твердого тела. Скорость ползуна для данного положения механизма можно вычислить с помощью как теоремы о проекциях скоростей двух точек тела, так и мгновенного центра скоростей шатуна. Для этого необходимо знать скорость какой-нибудь точки шатуна (например точки А) и направление скорости ползуна.

Ускорение ползуна в данный момент времени можно найти с помощью векторной формулы распределения ускорений точек плоской фигуры, спроектировав ее на два взаимно перпендикулярных направления. В качестве полюса удобно принять точку А. Исходные данные к задаче даны в табл. 8.

Условие

Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w и приводит в движение шатун АВ длиной L и

Таблица 8

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
R, см	L, cм	a, град	b, град	w, c-1	Номер схемы (рис. 15)

ползун В. Для заданного положения механизма найти скорость и ускорение ползуна В.

Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 15, схемы 1, 6), то значение угла b следует принять равным 15°.

Пример решения задачи 2.4

Условие. Кривошип ОА длиной R=64 см вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w=1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной L=72 см и ползун В. Для положения механизма, заданного значениями углов a=45°, b=30,° найти скорость и ускорение ползуна В. Схема механизма приведена на рис. 16. мгновенным центром скоростей Р (см. рис. 16).

Рассмотрим движение шатуна в данный момент времени как вращательное относительно оси,

Рис. 15. Схемы к задаче 2.4

проходящей через мгновенный центр скоростей Р перпендикулярно неподвижной плоскости, по отношению к которой происходит плоское движение. Угловая скорость шатуна в этом случае определяется из соотношения , а скорость ползуна В как вращательная – из соотношения .

Расстояния АР и BP определим из решения треугольника АВР, применив теорему синусов. Для заданного положения механизма получим

, откуда

Подставив найденные значения расстояний в соответствующие формулы, получим . Направления скоростей показаны на рис. 16.

2. Для определения ускорения ползуна B воспользуемся векторным равенством:

, (1)

где – ускорение ползуна В;

– ускорение точки А, выбранной за полюс;

– осестремительное (центростремительное, нормальное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А;

– вращательное (касательное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А.

Ускорение точки А кривошипа при равномерном вращении вокруг неподвижной оси О состоит только из осестремительной составляющей, модуль которой определяется формулой . Вектор ускорения точки А направлен к оси вращения (рис. 17), .

Осестремительное ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:

.

Рассчитать вращательное ускорение обычным способом не представляется возможным, так как величина углового ускорения звена АВ неизвестна. Несмотря на это обстоятельство, векторное равенство (1) позволяет найти ускорение ползуна В. Для этого воспользуемся тем, что нам известно направления вектора (он перпендикулярен ускорению ) и вектора ускорения искомого ускорения (вдоль прямолинейной траектории точки В).

Проведем вектор ускорения точки В, предполагая, что он направлен противоположно скорости точки В. Спроектируем векторное равенство (1) на ось u, перпендикулярную ускорению и проходящую через точки А и В, получим

.

Отсюда

Знак минус показывает, что истинное направление ускорения точки В противоположно принятому.