Диаграмма интенсивностей переходов

Система уравнений глобального равновесия для этой сети состоит из шести уравнений (одно из которых, как обычно, избыточно; дополнительное уравнение вытекает из условия нормирования вероятностей); они имеют вид

; (11)

; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

. (16)

Каждое из этих уравнений глобального равновесия имеет такую форму, что левая сторона соответствует потоку, исходящему из данного состояния, а правая – потоку, входящему в это состояние. Уравнения (11) – (13), как увидим, сами по себе образуют систему уравнений локального равновесия; уравнения (14) – (16) выписаны так, что в каждом из них первый член левой части уравновешивается первым членом правой части; то же самое относится и ко вторым членам. Таким образом, равенство (14) приводит к следующей системе уравнений локального равновесия:

; (17)

. (18)

Заметим, например, что в уравнении (17) интенсивность потока, исходящего из состояния (1, 1, 0) за счет ухода требований из узла 1, приравнивается к интенсивности потока, входящего в это состояние за счет поступления требований в узел 1; аналогично, уравнение (18) описывает такое же равенство для узла 2. Это и есть принцип локального равновесия, и, нетрудно видеть, уравнения (11) – (13) уже имеют такой вид. Таким образом, получается девять уравнений локального равновесия (можно выписать их прямо по рисунку) (четыре из них должны быть избыточными, если учесть условие нормирования вероятностей), каждое из которых имеет очень простой вид и поэтому позволяет непосредственно найти решение. Если эта система уравнений действительно имеет решение, то определенно гарантируется, что оно удовлетворяет и системе уравнений глобального равновесия, и, таким образом, найдено единственное решение исходной системы уравнений глобального равновесия. Это можно легко проверить следующим образом:

;

;

;

;

;

. (19)

Если бы были допущены все возможные переходы требований из одного узла в другой (а не только рассмотренные в примере циклические переходы), то диаграмма интенсивностей переходов содержала бы вместо однонаправленных переходов переходы в обоих направлениях; однако допускаются только переходы в ближайшие соседние состояния (на рассматриваемой двумерной диаграмме), поэтому диаграмма переходов всегда может быть изображена на плоскости. Например, если допустить, что четыре требования могут перемещаться по сети с тремя узлами, связанными произвольным образом, то диаграмма интенсивностей переходов будет иметь вид

Диаграмма интенсивностей переходов, иллюстрирующая локальное равновесие (N=3, K=4)

На этой диаграмме возможные переходы между узлами обозначены ненаправленными ребрами (каждое из ребер соответствует двум однонаправленным ветвям противоположных направлений). Кроме того, группы ребер собраны с помощью подчеркивающей линии, которая объединяет ребра, дающие члены одного и того же уравнения локального равновесия. Эти диаграммы могут быть обобщены на большее число измерений, если в системе находится более трех узлов. В частности, в случае четырех узлов получается тетраэдр (т. е. трехмерный симплекс). В общем случае для N узлов в сети получится -мерный симплекс[2] с узлами на каждой грани (где K – число требований в замкнутой системе).