О роли ошибок округления в итерационных методах

Обратимся, наконец, к вопросам практической реализации итерационных методов решения линейных алгебраических задач.

Многие утверждения о сходимости итерационных процес­сов говорят о том, что решение поставленной задачи при опреде­ленных условиях может быть найдено этим процессом сколь угодно точно, причем погрешность каждого приближения может быть эффективно проконтролирована (см. теоремы 6.2, 6.6, 6.8, 6.12, а также теорему 6.3 и теорему 6.9). Нетрудно понять, что все это справедливо на самом деле лишь до тех пор, пока на погрешность метода (остаточную погрешность) не наложится вычислительная погрешность (по­грешность округлений), неизбежная при любых реальных ком­пьютерных расчетах. Особенно существенное и даже пагубное влияние на результат решения задачи итерационным методом могут оказать ошибки округления в тех случаях, когда утвержде­ния о сходимости метода не содержат эффективных оценок по­грешности (теоремы 6.1, 6.4, 6.5, 6.10, 6.12).

Рассмотрим различие между реальным и идеальным итера­ционными процессами на простейшем объекте – на методе про­стой итерации.

Пусть на -м итерационном шаге вычислений по методу (6.3) ошибки округлений составляют вектор . Тогда в отли­чие от идеального МПИ (6.3), генерирующего последовательность приближений к решению системы (6.1) такому, что

(6.41)

реальный МПИ будет иметь вид

(6.42)

Изучим поведение векторов

– ошибок приближений , получаемых реальным МПИ (6.42).

Вычитая (6.41) из (6.42), имеем

,

т.е.

(6.43)

Первое слагаемое в последнем выражении отвечает за по­грешность идеального МПИ и может быть сделано сколь угодно малым в процессе итерирования при условии (см. лемму 6.1). Чтобы оценить второе слагаемое, предположим, что порог абсолютных погрешностей округлений, допускаемых на каждой итерации, есть , т.е.

Тогда

,

и, если , то второе слагаемое в (6.43), хотя и не стре­мится к нулю, но ограничено по норме величиной

При условии же , теоретически обеспечивающем сходи­мость идеального МПИ (6.3), малость этого второго слагаемого отнюдь не гарантируется, что означает допустимость ситуаций, когда в ходе реальных итераций погрешность округлений будет накапливаться вплоть до переполнения множества чисел, представляемых используемым компьютером.

Более детальный анализ влияния ошибок округления на итерационный процесс с попыткой пролить свет на природу это­го влияния можно найти. Здесь же ограничим­ся напоминанием о том, что необходимо с осторожностью при­менять процессы, когда для них нет эффективных оценок по­грешности, и по возможности, учитывать влияние ошибок округ­ления, если такие оценки есть. Например, применительно к МПИ решения СЛАУ выше фактически доказана

Теорема 6.14. Пусть и приближения к решению системы (6.2) получаются посредством равенства (6.42), где – вектор ошибок округлений та­ких, что . Тогда погрешность -го приближения при любом можно оценить неравенством

(6.44)

Действительно, для последовательности , получаемой МПИ (6.3), справедливо равенство

.

Следовательно, считая, что процессы (6.3) и (6.42) начинаются с одного начального приближения , в идентичном (6.43) равенстве

можно заменить на . Таким образом, погрешности -х приближений реального (6.42) и идеально­го (6.3) методов различаются лишь слагаемым, оцененным выше по норме величиной , т.е. и для процесса (6.42) можно вос­пользоваться оценкой, выведенной в теореме 6.2.

Отметим, что как непосредственно видно из оценки (6.44) (при значениях , приближающихся к единице), роль ошибок округлений в образовании общей погрешности тем сильнее, чем медленнее сходимость итерационного процесса.