Записать логические утверждения примеров с 3 по 6 в кванторах

ПРИМЕР 3.Утверждение: в любой ε-окрестности числа 2 существует хотя бы один элемент последовательности .

Решение. Записать утверждение в кванторах:

Прочтение: для любого положительного числа ε (можно подчеркнуть: каким бы малым ε не было, или сколь угодно малого) существует номер числовой последовательности , зависящий от ε, начиная с которого на числовой оси найдется номер , такой, что соответствующий ему член последовательности будет находиться в ε-окрестности числа 2.

ПРИМЕР 4.Утверждение. Последовательность является бесконечно большой.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: для любого положительного числа E (можно указать: сколь угодно большого) существует номер числовой последовательности , зависящий от E, начиная с которого все члены последовательности , взятые по модулю, будут больше, чем число E.

ПРИМЕР 5. Утверждение: последовательность имеет конечный предел.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: действительное число А называется (существует число А, называемое) пределом последовательности при , если для любого положительного числа ε (сколь угодно малого) найдется такой номер , начиная с которого все члены последовательности будут лежать в ε-окрестности числа А.

ПРИМЕР 6. Утверждение: последовательность не может иметь своим конечным пределом число 1.

Решение. Запись в кванторах:

Прочтение: найдется такая ε-окрестности числа 1, что какой бы номер последовательности мы не взяли, правее его на числовой оси будет существовать номер , такой, что член последовательности с эти номером будет находиться вне рассматриваемой ε-окрестности числа 1.

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести примеры:

а) сходящейся последовательности;

б) ограничеснной сверху последовательности;

в) ограничеснной снизу последовательности;

г) ограничеснной последовательности;

д) неограничеснной последовательности;

е) бесконечно малой последовательности;

ж) положительной бесконечно большой последовательности;

з) отрицательной бесконечно большой последовательности;

и) бесконечно большой последовательности;

к) имеющей две предельные точки;

л) расходящейся последовательности.

2. Даны последовательности:

Выяснить, какие из последовательностей являются бесконечно малыми, бесконечно большими, ограниченными, имеющими конечный предел, имеющими несколько предельных точек.

3. Доказать, что последовательность является бесконечно малой:

4. Доказать, что последовательность является бесконечно большой:

5. Найти предел последовательности

Ответы

1.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) .

2.

5.

ГЛАВА 3

Предел функции

1. Определение предела функции. Пусть - множество вещественных чисел. Если поставлено в соответствие по определённому закону "f " единственное вещественное число , то говорят, что на определена функция (однозначная), обозначается этот факт .

Совокупность всех значений , т.е. , когда принимает значения из , называется областью значений функции, называется областью определения функции. При этом обозначают: .

Предел функции по Коши.

Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .

Число называется пределом функции при , если (как угодно малого) , что , удовлетворяющих условию выполнено .

Обозначение: (1)

или при .

Предел функции по Гейне.

Число называется пределом функции при , если , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функций сходится к .

Определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.

Функция называется бесконечно малой функцией в точке если .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если , что при .

Функция называется бесконечно большой в точке если , что , удовлетворяющих условию , выполнено . При этом используют обозначение: .

Пусть функция определена в правой (левой) полуокрестности точки , . Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если , что (или - для левой полуокрестности) выполнено . Обозначение:

или .

Нижний знак "–" относится к левому пределу функции.

2. Свойства пределов.Пусть . Тогда

При нахождении пределов часто используется первый или второй замечательные пределы, а также асимптотические равенства.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

2. Асимптотические равенства.Пусть переменная . Тогда

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1.Найти

Решение. Разделим числитель и знаменатель на в максимальной степени, то есть на . Получим

ПРИМЕР 2.Найти

Решение. Разделим числитель и знаменатель на

ПРИМЕР 3.Найти

Решение. Разложим числитель и знаменатель на произведение сомножителей:

ПРИМЕР 4.Найти

Решение. Полагая , имеем:

ПРИМЕР 5.Найти

Решение. Домножим числитель и знаменатель на

ПРИМЕР 6.Найти

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом.

ПРИМЕР 7.Найти

Решение.

ПРИМЕР 8.Найти

Решение.

ПРИМЕР 9.Найти

Решение. Поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом

ПРИМЕР 10.Найти

Решение.

Следующие несколько задач решаются с использованием асимптотических равенств.

ПРИМЕР 11.Найти

Решение. Воспользуемся асимптотическим разложением числителя и знаменателя.

ПРИМЕР 12.Найти

Решение.

ПРИМЕР 13.Найти

Решение.

ПРИМЕР 14.Найти

Решение.

ПРИМЕР 15.Найти

Решение.

ПРИМЕР 16.Найти

Решение.

ПРИМЕР 17.Найти

Решение.

ПРИМЕР 18.Найти

Решение.

ПРИМЕР 19.Найти

Решение.

ПРИМЕР 20.Найти

Решение.

ПРИМЕР 21.Найти

Решение.

ПРИМЕР 22.Найти

Решение.

ПРИМЕР 23.Найти правый и левый пределы функции

Решение. Имеем: Предела же функции не существует.

ПРИМЕР 24.Сформулировать с помощью кванторов следующие утверждения:

.

Решение.

График, в котором отражены эти утверждения, представлен ниже.