Основні положення системного аналізу
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В
СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ. ПРИКЛАДИ ТА
ЗАВДАННЯ
Затверджено Вченою радою Вінницького державного технічного університету як навчальний посібник для студентів будівельних спеціальностей. Протокол № 5 від 29 грудня 2008 р.
Вінниця ВНТУ 2009
УДК 518
Р 95
Рецензенти:
С. Й. Ткаченко,доктор технічних наук, професор
В. Ф. Анісімов,доктор технічних наук, професор
В. І. Савуляк, доктор технічних наук, професор
Рекомендовано до видання Ученою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України
Р 95 Риндюк В. І., Коц І. В., Приятельчук В. О. Математичне моделювання в системному аналізі. Приклади та завдання: Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2009. – 102 с.
Навчальний посібник присвячений висвітленню основних положень системного аналізу, а саме: понять системи, процедур та постулатів математичного моделювання і програмування. Мета його сприяти закріпленню теоретичного матеріалу із основ системного аналізу, широкому впровадженню математичного моделювання у технологію будівельного виробництва та розробку, спорудження і експлуатацію систем теплогазопостачання і вентиляції.
Навчальний посібник призначений для студентів напряму підготовки "Будівництво".
УДК 518
© В. І. Риндюк, І. В. Коц, В. О. Приятельчук, 2009
| |
ЗМІСТ
| Вступ…………………………………………………………………………... | |
| 1 Основні положення системного аналізу…………………………………... | |
| 1.1 Поняття і процедура моделювання……………………………….. | |
| 1.2 Постулати моделювання…………………………………………... | |
| 2 Елементи матричної алгебри ….…………………………………………... | |
| 2.1 Обчислення оберненої матриці …………………………………... | |
| 2.2 Використання оберненої матриці………………………………… | |
| 2.3 Знаходження власних чисел і власних векторів матриць...……... | |
| 2.4 Критерій від’ємності дійсних частин коренів полінома Р(λ)…… | |
| 3 Метод градієнтного спуску………………………………………………… | |
| 4 Лінійне програмування…………………………………………………...... | |
| 4.1 Метод північно-західного кута…………………………………… | |
| 4.2 Метод мінімального елемента…………………………………….. | |
| 4.3 Метод апроксимації Фогеля………………………………………. | |
| 4.4 Розв’язання транспортної задачі методом потенціалів…………. | |
| 5 Стержневі системи………………………………………………………….. | |
| 5.1 Загальні положення……………………………………………...… | |
| 5.2 Стержневі системи………………………………………………… | |
| 6 Електричні системи………………………………………………………… | |
| 6.1 Основні положення……………………………………………….. | |
| 6.2 Математична модель електричної системи……………………… | |
| 7 Гідравлічні системи та приклад математичної моделі гідравлічної системи………………………………………………………………………… | |
| 8 Системи з комп’ютерним керуванням…………………………………….. | |
| 8.1 Принципова схема системи з комп’ютером……………………… | |
| 8.2 Математична модель технічного об’єкта із комп’ютерною системою управління…………………………………………………………. | |
| 8.2.1 Стійкі системи………………………………………………. | |
| 8.2.2 Керовані системи……………………………………………. | |
| 9 Перелік вправ-завдань та контрольні запитання………………………...... | |
| 10 Завдання для контрольних та лабораторних робіт………………………. | |
| Словник термінів з системного аналізу…………………………………….... | |
| Література……………………………………………………………………… |
| |
Вступ
Науково-технічна революція привела до виникнення таких понять, як великі і складні системи, яким притаманні специфічні проблеми. Необхідність розв'язання цих проблем викликала до життя множину прийомів, методів, підходів, які накопичувались, розвивались, узагальнювались, створюючи цим цілі технології змагання кількісних і якісних складнощів.
Як сказав академік М. М. Амосов: "Є декілька важливих проблем, які шкодять людям бути щасливими: хвороби, виховання дітей, соціальні відношення. Причина одна: невміння керувати складними системами, організмом, психікою... Щоб керувати, необхідно знати."
Термін "система" з'явився в науковій літературі давно і є таким же невизначеним, як "множина" або "сукупність". Даний термін спочатку використовувався в механіці, де він означає матеріальну систему, тобто сукупність матеріальних точок. Основний інтерес для подібних систем становлять задачі динаміки, які виявляють причинно-наслідковий механізм їх руху.
Становлення динаміки як науки пов'язано з іменами Галілея, Гюйгенса, Ньютона, Лагранжа. Генію Ньютона ми зобов'язані не тільки точним формулюванням основних законів механіки, але і побудовою диференціального числення, на якому базуються адекватні математичні моделі механічних систем. Моделі, які використовують диференціальні рівняння, виявились настільки вдалими, що були потім використані для опису різних фізичних явищ: електричних, електромагнітних, гідравлічних і под. В останні десятиліття вони використовувались для опису бойових операцій, глобальних процесів, які відбуваються в світі, та інших явищ, в яких провідна роль належить живій природі взагалі і людині в окремих випадках.
Створення складних технічних систем, проектування складних народногосподарських комплексів і управління ними, аналіз екологічних ситуацій та інші напрямки інженерної, наукової і господарської діяльності потребували організації досліджень, які б носили нетрадиційний характер.
Вони потребували об'єднання зусиль спеціалістів різних наукових профілів, уніфікації і погодження інформації, яка отримується в результаті дослідження конкретного характеру. Успішний розвиток системних і комплексних досліджень з використанням математичних методів і оброблення інформації завдячують появі електронно-обчислювальної техніки. Отже системний аналіз виник в епоху ЕОМ і його розвиток визначається її сучасними можливостями і перспективами.
Результатом системи досліджень є вибір конкретної альтернативи, план розвитку регіону параметрів конструкцій. Таким чином, системний аналіз це дисципліна, яка займається проблемами прийняття рішення в умовах, коли вибір альтернативи потребує аналізу складної інформації різної фізичної природи.
Іноді ситуація виявляється такою складною, що у людини, яка приймає рішення, вже немає впевненості, що вибір правильний. В таких випадках виникає необхідність в наукових методах прийняття рішення. В результаті розвиток цих методів і сприяв виникненню окремої дисципліни теорії прийняття рішень. На сучасному етапі її апарат та інструментарій, що опираються на широке використання ЕОМ, перетворились в складну і розвинуту наукову теоретичну систему, що стала називатися системним аналізом.
Становлення нової дисципліни розпочалось в кінці XIX і на початку XX століття, коли з'явились перші праці з теорії регулювання, коли в економіці почали вперше говорити про функцію мети (корисності), коли В. Паретто був сформульований перший принцип компромісу.
Основні положення системного аналізу
Необхідний словник основних термінів з системного аналізу наведений у кінці даного навчального посібника (див. С. 91 - 99).
На сьогодні системний аналіз – це широка синтетична дисципліна, що містить в собі цілий ряд розділів, які носять характер самостійних наукових дисциплін, таких як: диференціальні рівняння, чисельні методи, методи оптимізації, варіаційне числення, елементи дослідження операцій, теорія оптимального управління та ін.
Дослідження операцій є основним витоком системного аналізу. Ця дисципліна характеризується трьома головними напрямками, які завжди присутні в дослідженні.
Перший етап – побудова моделі, тобто формалізація досліджуваного процесу або явища. Вона зводиться до опису процесу мовою математики. На цьому етапі мова йде про побудову моделі процесу. За допомогою однієї і тієї ж моделі можуть вивчатися різні операції.
Другий етап – опис операції, постановка задачі. Формулюється мета операції, тобто проведення необхідного аналізу невизначеностей, обмежень, що приводить до деякої задачі оптимізації.
Третій етап – розв'язання задачі оптимізації. Для її завершення можуть знадобитися відповідні математичні методи.
Математичне програмування та інші методи розв'язання екстремальних задач складають основу апарату дослідження операцій.
В зв'язку з тим, що побудова та дослідження математичних моделей є основою всього системного аналізу, основна увага буде звернута на принцип моделювання, оптимізацію та математичне програмування.