Анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела

Раздел 12

I. Объемное напряженное состояние

1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке

На рис. 11.3 показаны компоненты полного напряжения на наклонной площадке . Очевидно, что его численное значение определяется так

Подставляя сюда формулы (11.4) найдем

(12.1)

Здесь и – направляющие конусы нормали к площадке . Полное напряжение можно разложить на нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что . Напряжение можно найти, проектируя и на нормаль , т.е. . С учетом формул (11.4) получим

(12.2)

Касательное напряжение можно найти так

(12.3)

2. Главные напряжения, главные площадки

На наклонной площадке, у которой орт нормали совпадает с направлением , величина , а будет экстремально и равно . Такая площадка называется главной (ее направление определяют направляющие косинусы, которые обозначим ). А напряжения на ней обозначим . Все его проекции на оси будут . Подставим их в формулы (11.4)

или (1)

Надо найти и при известных напряжениях в точке тела .

Очевидно, что .

Из этого следует, что одновременно не могут быть равны нулю. Тогда система уравнений (1) имеет решение, если ее определитель , т.е.

(3)

Раскрывая этот определитель получим, с учетом закона парности касательных напряжений:

(4)

(5)

После перемножений и приведения подобных членов найдем

(12.4)

Где:

(12.5)

Величины и называются инвариантами тензора напряжений (легко убедится, что есть определитель ). При повороте осей компоненты меняются, но и при этом не должны меняться, т.к. , определяемые из (12.4), не зависят от выбора положения осей , а зависят от нагружения тела.

Решение кубического уравнения (12.4) дает три корня для , которые и называются главными напряжениями. Итак, имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых . Например, найдем главной площадки, где действует . Для этого составим три уравнения: и любых два уравнения из системы (1), подставляя в них . Решая эти три уравнения, найдем . Аналогично определяются две другие площадки, где действуют и . Можно показать, что главные площадки взаимно ортогональны.

Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (12.5) так:

Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.

3. Экстремальные касательные напряжения

Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых площадках действуют только и (см. рис. 11.3). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .

Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (12.1) и (12.2), полагая в них: , , т.к. на главных площадках касательных напряжений нет

(6)

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (12.3), подстановкой (6)

После преобразований, получим

(7)

Условие экстремальности по параметрам и дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :

Третьему решению соответствуют рис.а, т.е. это площадка под углами 45° к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя и в выражение (7), получим

Рис.а

Окончательно

(8)

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2), можно найти экстремальные и .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:

(12.6)

4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их , т.к. должно быть .

Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (6) и (7) подстановкой

(12.7)

Рис.в

Величину называют часто гидростатическим давлением. С т.О на рис. В обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные площадки с и показаны три площадки с экстремальными касательными напряжениями и . Легко показать, что , следовательно, и тоже

являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.

II. Плоское напряженное состояние

а) Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонных площадках

sx tyx xν yν rν tν txy sν sy a

Рис. 12.1

Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси , т.е. (9) Получим ПНС в осях , показанное на рис. 12.1.

На наклонной площадке действует полное напряжение , которое можно разложить:

1. на составляющие по осям и , т.е. на и ;

2. на нормальное и касательное напряжения.

Очевидно: (10)

Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 12.1):

(11)

Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.4), подставляя в них (9) и

(12.7)

Здесь .

Уравнения (12.7) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.12.1 Определим площадки элемента:

(13)

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики

Подставляя (13) и сокращая на , получим формулы (12.7). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см.рис. 12.1)

Подставляем (12.7), получим:

Подставляя (11) и учитывая, что , найдем

(12.8)

Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 12.1)

Подставим (11) и учитывая, что , окончательно получим

(12.9)

в) Главные напряжения, главные площадки

Здесь, как и в объемном напряженном состоянии, имеются главные площадки с направляющими косинусами и , на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями , а касательные напряжения отсутствуют. Поэтому здесь . Подставляя это в формулы (12.7) получим

(14)

Известно, что , поэтому уравнения (14) имеют решение, если его определитель

Раскроем этот определитель

(15)

Здесь инварианты ПНС.

Решение квадратного уравнения (15) дает два корня и , которые и называют главными напряжениями в ПНС:

Окончательно получим для (знак (+)) и (знак (–)):

(12.10)

Положение главных площадок, где действуют и в ПНС удобно определять углами , которые нормали к главным площадкам составляют с осью . Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя и в (12.9) получим

откуда

(12.11)

Из (12.11) получим два значения , одно , другое , которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. и откладывать от оси против хода часовой стрелки.

Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют и , надо подставить и в формулу (12.8), большая величина , а меньшая . Эти величины и должно быть равны величинам, вычисленным по (12.10).

с) Экстремальные касательные напряжения

Рис.с

Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и . Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол . Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (12.8) и (12.9), полагая .

(16)

Из второй формулы (16) видно, что при

(12.12)

Подставляя сюда и из формулы (12.10), получим

(12.13)

Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45° к главным и определяются по формулам (12.12) или (12.13).

Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (16), подставляя ( )

(17)

Здесь учтено, что .

d) Чистый сдвиг

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .

В этом случае экстремальные найдем по (12.12), а нормальные напряжения на этих площадках по (17). Итак

Такой случай носит название чистый сдвиг.

Рис. d

Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням действуют только . Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. d). Используя формулы (12.8) и (12.9), подставляя в них: , . Получим (12.14)

Из этих формул видно, что при , а это как известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45° к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

(при )

III. Анализ деформированного состояния

Тензор деформации представим в симметричном виде (см. рис), когда и т.д. Анализ деформиро-ванного состояния проведем по аналогии с

вышеприведенным анализом напряженного состояния. Три взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформации тела равны нулю, называются главными деформациями и обозначаются .

Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (12.4) для определения главных напряжений

(12.15)

Здесь и инварианты деформированного состояния:

(12.16)

Решение кубического уравнения (12.15) дает три величины главных деформаций .

В случае плоской деформации, когда, например, по аналогии с ПНС, формулы (12.10), получим и

(12.17)

Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (12.6) для определения экстремальных касательных напряжений

(12.18)

Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений.

Выясним физический смысл инварианта : Рассмотрим кубик, у которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем . После деформации его объем станет . Относительное изменение объема обозначим

Деформации малы, поэтому величины второго и третьего порядка малости можно не учитывать, тогда

(12.19)

Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.

Октоэдрический сдвиг, по аналогии с (12.7) – октаэдрических касательных напряжений, определяется так

(12.20)

Последняя формула получена с учетом (12.18)