Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .

Определение

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Для обозначения производной функции применяются следующие символы или :

(5.1.1)

Если в некоторой точке предел (5.1.1) бесконечен: или ,

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производная также является функцией от аргумента , определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится кточке по кривой .

Пусть точка на кривой соответствует значению аргумента , а точка – значению аргумента (Рис. 5.1.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке нужно, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси . Из треугольника следует, что .

Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной (5.1.1), получаем

(5.1.2)

Рис. 5.1.1.

Отсюда следует вывод о геометрическом смысле производной: производная в точке равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси ) касательной к графику функции в точке . При этом угол наклона касательной определяется из формулы (5.1.2):

Правая и левая производные

Определение

Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел отношения (5.1.1) при , если этот предел существует.

Для обозначения односторонних производных используется следующая символика

, .

(5.1.3)

Приведем пример функции, у которой существуют, но не равны друг другу, правая и левая производные. Это . Действительно, в точке : и , т.е. функция не имеет производной при .

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

,

(5.1.4)

где – некоторое число, не зависящее от , а -- бесконечно малая функция при .

Так как произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка малости, то формулу можно представить в виде:

,

(5.1.5)

Теорема

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Данная Теорема позволяет в дальнейшем отождествлять дифференцируемость и существование производной для функции одной переменной. Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием.

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Теорема

Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не верно: функция , непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Например, функция непрерывна в точке , но не имеет производной в этой точке. Таким образом, требование дифференцируемости более сильное, чем требование непрерывности, поскольку из первого вытекает второе.